非线性 MPC 稳定性理论

前置自测

📋 前置自测（答不出 ≥ 2 题 → 先回前置章节复习）

1. 写出离散时间 Lyapunov 稳定性定理的三条件：\(V\) 需满足什么性质才能证明原点渐近稳定？
2. 什么是 \(\mathcal{K}_\infty\) 函数？给出一个例子并说明它与 \(\mathcal{K}\) 函数的区别。
3. 什么是 ISS（输入到状态稳定性）？写出 ISS-Lyapunov 函数的定义不等式。
4. 什么是 KKT 条件？对一个带等式和不等式约束的优化问题，写出完整的一阶最优性条件。
5. 解释 Bellman 最优性原理的核心思想，并写出离散时间 DP 方程。

---

本章目标

学完本章后，你应能够：

1. 从公理层面理解 Mayne-Rawlings-Rao-Scokaert 2000 的四条件框架，能独立复述证明并解释每条假设保证了什么；
2. 机械化地设计终端代价和终端集：给定任何可线性化系统，通过 DARE → LQR → 椭圆切约束的流水线产出满足四条件的 \((V_f, X_f, \kappa_f)\)；
3. 判断无终端约束 MPC 何时可行：利用 Grüne-Pannek 的 \(\alpha_N\) 公式估算最小预测步数 \(N^\ast\)；
4. 理解 economic MPC 的旋转代价技巧：区分跟踪型 MPC 与经济型 MPC，并能验证 strict dissipativity；
5. 设计 tube MPC：对线性系统计算 mRPI、执行约束收紧、编写名义 MPC。

---

知识树总览

非线性 MPC 稳定性
├── §1 标准形式与递归可行性 ⭐
│   ├── OCP_N 定义
│   ├── Receding horizon 反馈律
│   └── 递归可行性 = 一切稳定性的前提
├── §2 四条件框架 ⭐⭐（核心中的核心）
│   ├── (A1) 终端集正不变
│   ├── (A2) 终端代价 = 局部 CLF
│   ├── (A3) 阶段代价正定下界
│   ├── (A4) 终端代价上界
│   └── 证明：候选序列构造 → Lyapunov 下降
├── §3 终端代价设计 ⭐⭐
│   ├── DARE → P → K → 椭圆
│   ├── Chen-Allgöwer 1998 非线性推广
│   └── LMI/SOS 自动化验证
├── §4 无终端约束 MPC ⭐⭐
│   ├── Jadbabaie-Hauser 2005
│   ├── Grüne-Pannek α_N 公式
│   └── 最小预测步数估算
├── §5 Economic MPC ⭐⭐⭐
│   ├── Strict dissipativity
│   ├── Rotated cost 变换
│   └── Turnpike 等价性
├── §6 Tube MPC ⭐⭐
│   ├── RPI 集合
│   ├── 约束收紧
│   └── 鲁棒递归可行性
├── §7 ISS-MPC ⭐⭐⭐
│   └── V_N* 作 ISS-Lyapunov 函数
├── §8 MPC 与 CLF/CBF 统一 ⭐⭐⭐
│   ├── V_N* 即 CLF
│   ├── CBF 作安全约束
│   └── N=1 退化为 CBF-QP
└── 选学
    ├── §A Stochastic MPC ⭐⭐⭐⭐
    ├── §B 输出反馈 MPC ⭐⭐⭐
    ├── §C 可行性恢复 ⭐⭐⭐
    ├── §D Turnpike 理论 ⭐⭐⭐⭐
    ├── §E 实时 MPC (RTI + Suboptimal) ⭐⭐⭐
    ├── §F 采样数据 MPC ⭐⭐⭐⭐
    └── §G 计算验证 (LMI/SOS/MPT3) ⭐⭐⭐

---

§1 MPC 标准形式、Receding Horizon 与递归可行性 ⭐

动机：为什么 MPC 的稳定性不是"天然的"

考虑一个直觉问题：你有一个预测模型，你在每个时刻对未来 \(N\) 步做最优规划，然后只执行第一步——为什么这样的策略不一定稳定？

答案令人惊讶：有限时域最优性不等于无限时域最优性。想象你站在悬崖边用导航 app 规划路线——如果 app 的"规划视野"只有前方 100 米，它可能把你引到一条局部最短但最终通向死路的路径。MPC 面临完全相同的困境：\(N\) 步"最优"不保证无限步"好"。

本质洞察：MPC 的稳定性不是求解器给你的——它是终端代价、终端集、阶段代价、预测步数四个设计要素共同构造出的 Lyapunov 函数所保证的。

这一节建立问题的精确数学形式。

如果不关心稳定性理论会怎样

在机器人实践中，忽视稳定性理论的三类典型"崩盘"场景：

场景	症状	理论根源
预测步数 \(N\) 太短、无终端代价	逆摆在远离平衡点时永远回不去	Grüne-Pannek \(\alpha_N < 0\)
SLAM 估计跳变推状态出可行域	OCP infeasible → 控制器沉默 → 更远	递归可行性破坏
RL warm-start 不验 Lyapunov	"平均更好、最坏崩掉"	Scokaert 1999 suboptimal 条件未满足

严格定义

考虑离散时间动态系统

\[ x_{k+1} = f(x_k, u_k), \qquad f(0,0) = 0, \qquad x \in \mathbb{X} \subseteq \mathbb{R}^n,\ u \in \mathbb{U} \subseteq \mathbb{R}^m, \]

其中 \(\mathbb{X}, \mathbb{U}\) 为包含原点的闭集。有限时域最优控制问题 \(\mathrm{OCP}_N(x)\) 为

\[ V_N^\ast(x) = \min_{\mathbf{u} = (u_0, \dots, u_{N-1})} \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} \ell(x_k, u_k)}_{\text{阶段代价累积}} + \underbrace{V_f(x_N)}_{\text{终端代价}} \]

受约束

\[ x_{k+1} = f(x_k, u_k), \quad x_0 = x, \quad (x_k, u_k) \in \mathbb{X} \times \mathbb{U}, \quad x_N \in X_f \subseteq \mathbb{X}. \]

这里每个符号的物理意义需要明确：

符号	含义	设计自由度
\(\ell(x,u)\)	阶段代价，衡量"偏离目标多少"	选取正定函数，通常 \(x^\top Q x + u^\top R u\)
\(V_f(x)\)	终端代价，补偿有限视野的损失	核心设计对象——选错则不稳
\(X_f\)	终端集，状态必须最终进入的安全区	核心设计对象——选大则不安全
\(N\)	预测步数	越大可行域越大，但计算越贵

设 \(\mathbf{u}^\ast(x) = (u_0^\ast, \dots, u_{N-1}^\ast)\) 为最优解。**Receding-horizon 反馈律**只取第一项：

\[ \kappa_N(x) := u_0^\ast(x), \qquad \text{闭环：}\ x_{k+1} = f(x_k, \kappa_N(x_k)). \]

记**可行域** \(X_N := \{x \in \mathbb{X} : \mathrm{OCP}_N(x) \text{ 有解}\}\)。

为什么只用第一步？这是 receding horizon 的核心思想：(1) 第一步的决策基于最新测量，信息量最大；(2) 未来的决策基于预测模型，随时间推移误差累积；(3) 下一时刻可以用新测量重新规划，获得反馈效果。这与"一次规划、全程执行"的开环策略有本质区别——receding horizon 把规划变成了**隐式反馈控制器**。

递归可行性：一切稳定性证明的前提

定义：称 MPC 具有**递归可行性 (recursive feasibility)**，若

\[ \forall x \in X_N: \quad f(x, \kappa_N(x)) \in X_N. \]

即：如果当前 OCP 有解，执行最优第一步后，下一时刻的 OCP 仍有解。

为什么这不是显然的？因为 \(X_N\) 的形状取决于动态约束和终端约束的交互作用。一个简单反例：考虑双积分器 \(x_{k+1} = x_k + u_k\)，\(|u| \le 1\)，\(|x| \le 5\)，\(N = 1\)。若当前 \(x = 4.5\)，最优 \(u_0^\ast = -1\)（朝原点走），一步后 \(x^+ = 3.5 \in X_1\)。但若 \(N = 1\) 且终端约束要求 \(x_1 = 0\)，则 \(x = 4.5\) 时 OCP 就不可行（\(|u| \le 1\) 无法一步到达 0）。这说明终端约束的设计直接决定递归可行性。

反事实推理：如果不保证递归可行性会怎样？第 \(k\) 步 OCP 求解成功、施加 \(u_0^\ast\)；第 \(k+1\) 步 OCP infeasible——此时控制器没有输出。实际工程中通常保持上一次的控制输入或切到紧急模式，但状态可能因此更加远离可行域。这是 MPC "阵亡"的最常见模式。

DP 递归方程

定理 1.1（MPC 值函数的 DP 递归） 最优值函数满足

\[ V_N^\ast(x) = \min_{u \in \mathbb{U}:\ f(x,u) \in X_{N-1}} \bigl[\ell(x,u) + V_{N-1}^\ast(f(x,u))\bigr], \]

边界条件 \(V_0^\ast(x) = V_f(x)\)，\(x \in X_f\)。

证明：这是 Bellman 最优性原理的直接推论。将 \(N\) 步问题拆成"第一步 + 剩余 \(N-1\) 步"：

\[ V_N^\ast(x) = \min_{u_0} \bigl[\ell(x, u_0) + \min_{u_1,\dots,u_{N-1}} \sum_{k=1}^{N-1} \ell(x_k, u_k) + V_f(x_N)\bigr] \]

内层最小化恰好是以 \(f(x, u_0)\) 为初始状态的 \((N-1)\) 步 OCP，即 \(V_{N-1}^\ast(f(x, u_0))\)。\(\blacksquare\)

可行域嵌套：由 DP 递归立刻得到

\[ X_f \subseteq X_1 \subseteq X_2 \subseteq \cdots \subseteq X_N \subseteq X_\infty. \]

\(N\) 越大，MPC 能"救回来"的初始状态越多。但 \(X_\infty\)（无限步可行域）才是理论极限。

工程含义

• DP 方程是所有稳定性证明的起点。后续 §2 的核心不等式正是从"构造候选序列 → 用 DP 递归界代价"得出。
• **可行域单调性**告诉工程师：如果 \(N\) 太小，部分工况不可行。增大 \(N\) 能扩大可行域，但每增一步，计算量增加 \(O((n_x + n_u)^3)\)。
• 从无限维到有限维的代价：截断时域引入了"终端近视"——这正是终端代价 \(V_f\) 要补偿的东西。

跨领域类比

MPC 的 receding horizon 策略可以类比为**国际象棋中的有限深度搜索**：AI 引擎用 alpha-beta 搜索探索未来 \(N\) 步，但只走当前最优的一步，然后重新搜索。终端代价 \(V_f\) 相当于位置评估函数——它用一个启发式估计替代了无法穷举的未来。如果评估函数太差（\(V_f\) 不满足 Lyapunov 条件），AI 会走出"短视最优但全局很差"的棋步。

⚠️ 常见陷阱

#	陷阱	后果	对策
1	混淆"OCP 有解"与"闭环稳定"	以为求解成功就万事大吉	有解 ≠ 稳定，还需 Lyapunov 下降
2	终端约束 \(X_f\) 取太小导致可行域 \(X_N\) 太小	大量工况 OCP infeasible	用 §3 的椭圆最大化方法
3	误以为 \(N\) 越大一定越好	计算超时，反而降低控制频率	匹配系统时间常数，\(N \cdot T_s \approx 3\tau\)

练习

1. 概念题：给出一个例子说明递归可行性与渐近稳定性是两个独立性质（可以有递归可行但不稳定的 MPC）。
2. 推导题：对线性系统 \(x^+ = Ax + Bu\)，\(X_f = \{0\}\)（终端等式约束），推导 \(X_N\) 的解析形式。提示：考虑可达集的 Minkowski 和。
3. 编程题：用 Python + CasADi 实现双积分器的 \(\mathrm{OCP}_N\)，分别取 \(N = 5, 10, 20\)，画出可行域 \(X_N\) 的边界。

---

§2 Mayne-Rawlings-Rao-Scokaert 2000：稳定性的四条件框架 ⭐⭐

动机：从零散结论到统一公理

在 2000 年之前，MPC 稳定性理论是碎片化的：Keerthi-Gilbert 1988 要求终端等式 \(x_N = 0\)（太强）；Michalska-Mayne 1993 用双模式控制器（复杂）；Chen-Allgöwer 1998 用 quasi-infinite horizon（需要精细的非线性分析）。这些结论各有适用范围，但缺乏统一框架。

Mayne, Rawlings, Rao, Scokaert (2000)，Constrained model predictive control: Stability and optimality，Automatica 36(6):789-814，DOI: 10.1016/S0005-1098(99)00214-9，用四条假设 (A1)-(A3)（加上导出的 A4）统一了所有已知结果。这篇论文迄今被引用超过 10000 次，是 MPC 领域的"北极星"。

历史背景：David Mayne（1930-2024）是控制理论的泰斗，从 1960 年代的最优控制到 2000 年代的鲁棒 MPC，贡献跨越半个世纪。他于 2024 年 5 月辞世，这一理论体系的命脉由新一代工程师接续。

四条件严格表述

以下与 Rawlings-Mayne-Diehl 2017（Nob Hill 第二版）§2.4.2 一致：

(A1) 终端集正不变 + 终端反馈容许：存在闭集 \(X_f \subseteq \mathbb{X}\)（\(0 \in X_f\)）和局部反馈 \(\kappa_f: X_f \to \mathbb{U}\)，使得

\[ \forall x \in X_f: \quad f(x, \kappa_f(x)) \in X_f, \quad \kappa_f(x) \in \mathbb{U}. \]

直觉：一旦状态进入终端集，局部控制器能"兜住"它，不让它跑出去。这是"安全网"——MPC 的 \(N\) 步规划负责把状态引向 \(X_f\)，进入后 \(\kappa_f\) 接管。

(A2) 终端代价是局部 CLF（Lyapunov 下降不等式）：\(V_f: X_f \to \mathbb{R}_{\ge 0}\) 连续，\(V_f(0) = 0\)，且

\[ \boxed{V_f\bigl(f(x, \kappa_f(x))\bigr) - V_f(x) \le -\ell(x, \kappa_f(x)), \quad \forall x \in X_f.} \]

直觉：终端代价 \(V_f\) 在终端反馈 \(\kappa_f\) 下单调递减，且递减速率不低于阶段代价。这意味着 \(V_f\) 是"无限时域代价的局部上界"——从 \(X_f\) 内出发用 \(\kappa_f\)，总代价不超过 \(V_f(x)\)。

本质洞察：(A2) 的深层含义是：\(V_f\) 扮演了"无穷步 tail 代价的代理"。MPC 只规划 \(N\) 步，\(V_f\) 用来补偿 \(N\) 步之后的无限未来。如果 \(V_f\) 恰好等于 \(\kappa_f\) 下的无限时域代价（即 \(V_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \ell(x_k, \kappa_f(x_k))\)），则有限时域 MPC 等价于无限时域最优。

(A3) 阶段代价正定下界：\(\ell\) 连续，\(\ell(0,0) = 0\)，且存在 \(\mathcal{K}_\infty\) 函数 \(\alpha_\ell\) 使

\[ \ell(x,u) \ge \alpha_\ell(\|x\|), \qquad \forall (x,u) \in \mathbb{X} \times \mathbb{U}. \]

直觉：阶段代价能"看到"状态偏离原点的程度。如果 \(\ell\) 不依赖 \(x\)（例如 \(\ell = u^\top R u\)），则 A3 失效，MPC 可能让状态停在非零稳态。

(A4) 终端代价是真值函数的局部上界（由 A1+A2 导出）：

\[ V_f(x) \ge V_\infty^{\kappa_f}(x) := \sum_{k=0}^\infty \ell(x_k^{\kappa_f}, \kappa_f(x_k^{\kappa_f})), \qquad x \in X_f. \]

这不是独立假设，而是 A1+A2 的推论：对 (A2) 两边求和——\(V_f(x_{k+1}) - V_f(x_k) \le -\ell(x_k, \kappa_f(x_k))\)，telescope 求和得 \(0 - V_f(x_0) \le -\sum_{k=0}^\infty \ell(\cdot)\)，即 \(V_f(x_0) \ge V_\infty^{\kappa_f}(x_0)\)。

核心定理及完整证明

定理 2.1（MPC 闭环渐近稳定性，Mayne 2000 Thm 1） 在 (A1)-(A3) 下：

1. \(X_N\) 对闭环 \(x^+ = f(x, \kappa_N(x))\) 正不变（递归可行）；
2. \(V_N^\ast\) 是闭环 Lyapunov 函数，原点在 \(X_N\) 上**渐近稳定**；
3. 若 \(\alpha_\ell(r) = c r^2\) 且 \(V_f\) 有二次上界，则**指数稳定**。

完整证明（6 步，不跳步）：

记最优序列 \(\mathbf{u}^\ast(x) = (u_0^\ast, \dots, u_{N-1}^\ast)\)，对应最优轨迹 \(x_0^\ast = x, x_1^\ast, \dots, x_N^\ast\)。

Step 1（候选序列构造）

一步之后状态为 \(x^+ = f(x, u_0^\ast) = x_1^\ast\)。构造候选控制序列：

\[ \tilde{\mathbf{u}} = (u_1^\ast, u_2^\ast, \dots, u_{N-1}^\ast, \kappa_f(x_N^\ast)). \]

为什么这样构造？前 \(N-1\) 项直接沿用原最优序列（它们仍然满足动力学和约束），第 \(N\) 项用终端反馈 \(\kappa_f\) "兜底"。

Step 2（候选可行性 → 递归可行性）

验证 \(\tilde{\mathbf{u}}\) 是 \(\mathrm{OCP}_N(x^+)\) 的可行解：

• 前 \(N-1\) 步的动力学和约束：沿用原最优轨迹的 \(x_2^\ast, \dots, x_N^\ast\)，已知满足 \((x_k^\ast, u_k^\ast) \in \mathbb{X} \times \mathbb{U}\)；
• 第 \(N\) 步的终端约束：新的终端状态为 \(\tilde{x}_N = f(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\)。由 (A1)，\(x_N^\ast \in X_f\) 意味着 \(f(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast)) \in X_f\)。

因此 \(\tilde{\mathbf{u}} \in \mathcal{U}_N(x^+)\)，\(x^+ \in X_N\)。递归可行性证毕。\(\square\)

Step 3（候选代价计算）

计算 \(\tilde{\mathbf{u}}\) 对应的代价：

\[ \begin{aligned} V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}) &= \sum_{k=1}^{N-1} \ell(x_k^\ast, u_k^\ast) + \ell(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast)) + V_f\bigl(f(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\bigr) \\ &= \underbrace{\left[\sum_{k=0}^{N-1} \ell(x_k^\ast, u_k^\ast) + V_f(x_N^\ast)\right]}_{= V_N^\ast(x)} - \ell(x, u_0^\ast) - V_f(x_N^\ast) + \ell(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast)) + V_f\bigl(f(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\bigr). \end{aligned} \]

整理得：

\[ V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}) = V_N^\ast(x) - \ell(x, u_0^\ast) + \underbrace{\bigl[V_f(f(x_N^\ast, \kappa_f)) - V_f(x_N^\ast) + \ell(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\bigr]}_{\text{终端项}}. \]

Step 4（用 A2 消去终端项）

由 (A2) 的 Lyapunov 下降不等式：

\[ V_f\bigl(f(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\bigr) - V_f(x_N^\ast) \le -\ell(x_N^\ast, \kappa_f(x_N^\ast)). \]

因此终端项 \(\le -\ell(x_N^\ast, \kappa_f) + \ell(x_N^\ast, \kappa_f) = 0\)。这是整个证明中最关键的一步——(A2) 的作用在此完全显现。

Step 5（核心 Lyapunov 下降不等式）

由最优性 \(V_N^\ast(x^+) \le V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}})\)（最优不劣于任何可行解），结合 Step 3-4：

\[ \boxed{V_N^\ast(x^+) \le V_N^\ast(x) - \ell(x, \kappa_N(x)).} \]

这就是 MPC 的 Lyapunov 下降不等式。注意 \(\kappa_N(x) = u_0^\ast\)。

Step 6（Lyapunov 结论）

由 (A3)：\(V_N^\ast(x^+) - V_N^\ast(x) \le -\ell(x, \kappa_N(x)) \le -\alpha_\ell(\|x\|)\)。

同时，\(V_N^\ast\) 满足： - 正定性：\(V_N^\ast(x) \ge \ell(x, \kappa_N(x)) \ge \alpha_\ell(\|x\|)\)（取 \(V_N^\ast\) 的第一项下界）； - 有界性：\(V_N^\ast(x) \le \alpha_2(\|x\|)\)（由 \(\ell, V_f\) 的连续性和有界性，存在 \(\mathcal{K}_\infty\) 上界 \(\alpha_2\)）。

由标准 Lyapunov 直接定理（离散时间版本），原点在 \(X_N\) 上渐近稳定。\(\blacksquare\)

证明的"建筑学"解读

把证明想象成搭积木：

积木	作用	对应假设
候选序列 shift + 终端反馈	保证"下一步有解"	(A1)
终端代价 Lyapunov 下降	让候选代价不增	(A2)
最优性原则	从"候选可行"推到"最优更好"	优化基本性质
阶段代价正定	让 \(V_N^\ast\) 满足 Lyapunov 正定性	(A3)

如果去掉 (A1)：Step 2 失败，候选序列不可行，递归可行性无法保证。

如果去掉 (A2)：Step 4 无法消去终端项，\(V_N^\ast(x^+) - V_N^\ast(x)\) 可能为正，Lyapunov 下降不成立。

如果去掉 (A3)：Step 6 中 \(V_N^\ast\) 不再正定（可能在非零点为零），Lyapunov 定理不适用。

反事实推理：如果终端代价 \(V_f\) 设为零（即 \(V_f \equiv 0\)）会怎样？(A2) 变成 \(0 - 0 \le -\ell(x, \kappa_f(x))\)，即 \(\ell(x, \kappa_f(x)) \le 0\)，这对正定的 \(\ell\) 只在 \(x = 0\) 成立。因此 \(X_f = \{0\}\)——终端集退化为单点，这就回到了 Keerthi-Gilbert 1988 的终端等式约束。可行域极小，实用价值低。

四条件的口诀与诊断

记忆口诀："正不变 + CLF + 正定 + 容许"（A1 正不变、A2 CLF 下降、A3 正定下界、A1 容许）。

故障诊断映射：

MPC 症状	最可能被破坏的条件	修复方向
闭环缓慢漂移不收敛	(A3) — 阶段代价不含 \(x\)	加状态权重 \(Q \succ 0\)
第二拍 OCP infeasible	(A1) — 终端集不正不变	检查 \(\kappa_f(x) \in \mathbb{U}\)、\(f(x,\kappa_f) \in X_f\)
控制输出振荡不衰减	(A2) — 终端代价 \(P\) 不满足 DARE	重新解 DARE
可行域太小工况受限	\(X_f\) 太小	增大 \(N\) 或用 §4 无终端约束

与其他稳定性理论的关系

理论	核心思想	与四条件的关系
LQR	无限时域、无约束最优控制	MPC 的终端代价 \(V_f = x^\top P_{\text{DARE}} x\) 就是 LQR 值函数
CLF（Sontag 1989）	存在 \(u\) 使 \(\Delta V < 0\)	MPC 的 \(V_N^\ast\) 本身就是 CLF
Lyapunov 直接法	\(V\) 正定 + 沿轨迹递减	MPC 证明正是构造 \(V = V_N^\ast\) 后验证这两条
Bellman DP	值函数满足递归方程	§1 的 DP 递归是 Step 5 的前置工具

⚠️ 常见陷阱

💡 概念误区：认为"OCP 求解成功 = MPC 稳定"

• 新手想法：IPOPT 返回 Optimal_Solution_Found，说明控制器在工作。
• 实际上：求解成功只保证当前 OCP 有解。闭环稳定性需要 (A1)-(A3) 共同保证 \(V_N^\ast\) 是 Lyapunov 函数。极端情况下，OCP 每步都成功但闭环状态发散——这发生在 \(V_f\) 不满足 (A2) 时。
• 自检方法：画出 \(V_N^\ast(x_k)\) 随 \(k\) 的变化曲线。如果它不单调递减，说明 Lyapunov 条件被破坏。

🧠 思维陷阱：认为"终端代价越大越安全"

• 新手想法：加大 \(V_f\) 的权重，让 MPC "更重视终端"，应该更稳定。
• 实际上：\(V_f\) 过大会让 MPC 过于保守（所有精力都在"到达终端"而非"沿途节省"），可能导致：(a) 约束被过早激活；(b) 最优轨迹不光滑；(c) 更严重的是，如果 \(V_f\) 增大但不满足 (A2) 的不等式方向，反而破坏稳定性。
• 正确做法：\(V_f\) 的选取不是"调参"，而是满足 (A2) 的数学约束。唯一安全的方法是用 DARE 解出的 \(P\) 矩阵。

练习

1. 推导题：假设阶段代价为 \(\ell(x,u) = x^\top Q x + u^\top R u\)（\(Q \succ 0, R \succ 0\)），证明 (A3) 成立并给出 \(\alpha_\ell\) 的具体形式。
2. 反例构造：构造一个满足 (A1)(A3) 但不满足 (A2) 的例子，证明闭环不稳定。
3. 编程题：对一维系统 \(x^+ = 2x + u\)（不稳定），\(|u| \le 1\)，\(\ell = x^2 + u^2\)。分别取 \(V_f = 0\) 和 \(V_f = P x^2\)（\(P\) 为 DARE 解），用 CasADi 仿真闭环轨迹对比。

---

§3 终端代价与终端集设计：DARE → \(P\) → \(K\) → 椭圆 \(\alpha\) ⭐⭐

动机：把四条件从抽象变成可计算

§2 给出了稳定性的**充分条件**，但工程师需要的是**构造方法**：给定系统 \((A, B, Q, R)\)，如何机械化地产出满足 (A1)-(A2) 的 \((V_f, X_f, \kappa_f)\)？

答案是：LQR 终端设计流水线。这是 95% 的 MPC 应用（线性或可线性化系统）使用的方法。

线性系统上的机械化五步配方

对可镇定 \((A, B)\)、\(\ell(x,u) = x^\top Q x + u^\top R u\)，\(Q \succeq 0\) 且 \((A, Q^{1/2})\) 可检测、\(R \succ 0\)：

Step 1：解离散代数 Riccati 方程 (DARE)

\[ P = A^\top P A - A^\top P B(R + B^\top P B)^{-1} B^\top P A + Q. \]

DARE 的解 \(P \succ 0\) 是无限时域 LQR 值函数的 Hessian。它的存在唯一性由 \((A, B)\) 可镇定 + \((A, Q^{1/2})\) 可检测保证（Rawlings-Mayne-Diehl 2017 Theorem B.11）。

数值实现：

import numpy as np
from scipy.linalg import solve_discrete_are

# 给定系统矩阵
A = np.array([[1.0, 0.1], [0.0, 1.0]])  # 双积分器离散化
B = np.array([[0.005], [0.1]])
Q = np.eye(2)
R = np.array([[1.0]])

# Step 1: 解 DARE
P = solve_discrete_are(A, B, Q, R)
print(f"P = \n{P}")

Step 2：计算 LQR 增益

\[ K = -(R + B^\top P B)^{-1} B^\top P A. \]

闭环矩阵 \(A_K = A + BK\) 的特征值全在单位圆内（Schur 稳定）。

为什么 LQR 增益恰好是"正确的"终端反馈 \(\kappa_f\)？因为 DARE 的解恰好满足封闭的 Lyapunov 等式：

\[ A_K^\top P A_K - P = -(Q + K^\top R K). \]

这可以通过直接代入 DARE 并利用 \(K\) 的定义验证。

Step 3：设 \(V_f(x) = x^\top P x\)，\(\kappa_f(x) = Kx\)

验证 (A2)：

\[ \begin{aligned} V_f(f(x, Kx)) - V_f(x) &= (A_K x)^\top P (A_K x) - x^\top P x \\ &= x^\top (A_K^\top P A_K - P) x \\ &= -x^\top (Q + K^\top R K) x \\ &= -\ell(x, Kx). \end{aligned} \]

因此 (A2) 以**等号**成立！这是 LQR 终端设计的美妙之处——它不仅满足 (A2)，而且是最紧的满足方式。

Step 4：确定终端集 \(X_f = \{x : x^\top P x \le \alpha\}\)

(A1) 的正不变性由 Step 3 的等号自动满足：对任意 \(\alpha > 0\)，\(x^\top P x \le \alpha\) 意味着 \((A_K x)^\top P (A_K x) = x^\top P x - \ell(x, Kx) \le \alpha\)。因此椭球 \(\{x^\top P x \le \alpha\}\) 对任意 \(\alpha\) 都是 \(A_K\) 的正不变集。

但 (A1) 还要求 \(\kappa_f(x) = Kx \in \mathbb{U}\)——这对 \(\alpha\) 施加了上界约束。

Step 5：最大化 \(\alpha\)

设约束集为半空间交集形式：\(c_\ell^\top x \le b_\ell\)，\(\ell = 1, \dots, L\)（将 \(|Kx| \le u_{\max}\) 和 \(|x| \le x_{\max}\) 统一写成此形式）。椭球 \(\{x^\top P x \le \alpha\}\) 内切于第 \(\ell\) 个半空间的条件为：

\[ \max_{x^\top P x \le \alpha} c_\ell^\top x = \sqrt{\alpha \cdot c_\ell^\top P^{-1} c_\ell} \le b_\ell. \]

最大 \(\alpha\) 的解析公式为：

\[ \boxed{\alpha^\ast = \min_\ell \frac{b_\ell^2}{c_\ell^\top P^{-1} c_\ell}.} \]

推导过程：椭球 \(\{x : x^\top P x \le \alpha\}\) 上 \(c^\top x\) 的最大值通过 Lagrange 乘子法求解：\(\nabla(c^\top x) = \lambda \nabla(x^\top P x)\) 得 \(c = 2\lambda P x\)，即 \(x = \frac{1}{2\lambda} P^{-1} c\)。代入约束 \(x^\top P x = \alpha\) 得 \(\frac{1}{4\lambda^2} c^\top P^{-1} c = \alpha\)，即 \(\lambda = \frac{1}{2}\sqrt{c^\top P^{-1} c / \alpha}\)。最大值为 \(c^\top x = \frac{1}{2\lambda} c^\top P^{-1} c = \sqrt{\alpha \cdot c^\top P^{-1} c}\)。令其 \(\le b\) 得 \(\alpha \le b^2 / (c^\top P^{-1} c)\)。对所有约束取最小即得 \(\alpha^\ast\)。

非线性推广：Chen-Allgöwer 1998 Quasi-Infinite Horizon

Chen, Allgöwer (1998), A quasi-infinite horizon nonlinear model predictive control scheme with guaranteed stability, Automatica 34(10):1205-1217, DOI: 10.1016/S0005-1098(98)00073-9。

对非线性系统 \(f \in C^1\)，\(f(0,0) = 0\)：

1. 在原点线性化：\(A = \partial_x f|_0\)，\(B = \partial_u f|_0\)；
2. 解 DARE 得 \(P\)，LQR 得 \(K\)——与线性情况相同；
3. 关键区别：需要找到 \(\alpha_{\text{nl}} > 0\) 使得在缩小的椭球 \(\{x^\top P x \le \alpha_{\text{nl}}\}\) 内，非线性项不破坏 (A2)。

具体地，存在 \(\alpha_{\text{nl}} > 0\) 与 \(\kappa \in (0,1)\) 使

\[ \forall x^\top P x \le \alpha_{\text{nl}}: \quad V_f(f(x, Kx)) - V_f(x) \le -(1 - \kappa) \ell(x, Kx). \]

为什么需要缩小椭球？线性情况下 (A2) 以等号全局成立，但非线性系统在远离原点处，高阶项 \(f(x, Kx) - A_K x = O(\|x\|^2)\) 可能让 Lyapunov 下降变成上升。缩小 \(\alpha\) 使得在椭球内 \(O(\|x\|^2)\) 项足够小，被线性项的下降"吃掉"。

\(\alpha_{\text{nl}}\) 的详细计算步骤

Chen-Allgöwer 的方法本质上是在验证线性化 Lyapunov 不等式在有限椭球内是否被非线性项"颠覆"。完整步骤如下：

Step 1：量化非线性余项

设 \(f(x, Kx) = A_K x + r(x)\)，其中 \(r(x) = O(\|x\|^2)\) 是高阶项。在椭球 \(\{x^\top P x \le \alpha\}\) 内估计 \(r\) 的范数：

\[ \|r(x)\| \le L_r \|x\|^2 \quad \forall x \in \{x^\top P x \le \alpha\} \]

\(L_r\) 可以通过 \(f\) 的二阶导数的 Lipschitz 常数估计：\(L_r \le \frac{1}{2}\max_{x^\top P x \le \alpha} \|\nabla^2 f(x, Kx)\|\)。

Step 2：建立修正后的 Lyapunov 下降

\[ V_f(f(x, Kx)) - V_f(x) = x^\top(A_K^\top P A_K - P)x + 2x^\top A_K^\top P r(x) + r(x)^\top P r(x) \]

第一项由 DARE 恒等式给出 \(= -x^\top(Q + K^\top R K)x\)。第二项和第三项可界定为：

\[ |2x^\top A_K^\top P r(x)| \le 2\|A_K^\top P\| \cdot \|x\| \cdot L_r\|x\|^2 = 2L_r\|A_K^\top P\| \cdot \|x\|^3 \]

\[ r(x)^\top P r(x) \le \|P\| \cdot L_r^2 \|x\|^4 \]

Step 3：找到 \(\alpha_{\text{nl}}\) 使 Lyapunov 下降不被破坏

需要：

\[ -\lambda_{\min}(Q + K^\top R K)\|x\|^2 + 2L_r\|A_K^\top P\|\|x\|^3 + \|P\|L_r^2\|x\|^4 \le -(1-\kappa)\lambda_{\min}(Q + K^\top R K)\|x\|^2 \]

对任意 \(x\) 满足 \(\|x\| \le \sqrt{\alpha/\lambda_{\min}(P)}\)（椭球内的最大 \(\|x\|\)）。

化简得：

\[ \|x\| \le \frac{\kappa \lambda_{\min}(Q + K^\top R K)}{2L_r\|A_K^\top P\| + \|P\|L_r^2\|x\|} \]

取 \(\|x\|_{\max} = \sqrt{\alpha_{\text{nl}}/\lambda_{\min}(P)}\)，解这个关于 \(\alpha_{\text{nl}}\) 的不等式即得。

Step 4：取 \(\alpha_{\text{nl}}\) 与约束 \(\alpha^\ast\) 的较小者

\[ \alpha_\text{final} = \min(\alpha_{\text{nl}}, \alpha^\ast) \]

其中 \(\alpha^\ast\) 来自 §3 的线性约束椭球切约束。

\(\alpha_{\text{nl}}\) 的计算方法：

方法	适用系统	工具
二分法网格搜索	低维 (\(n \le 4\))	MATLAB/Python
LMI 半定规划	多项式系统	YALMIP + MOSEK
SOS (Sum-of-Squares)	多项式系统	SOSTOOLS / SumOfSquares.jl
采样验证	通用	Monte Carlo + Lipschitz 界

LMI 方法：联合优化 \(P\) 和 \(\alpha\)

对于想要超越"先解 DARE 再缩椭球"的更优方案，可以把终端集设计写成半定规划 (SDP)：

\[ \max_{P \succ 0, K, \alpha} \quad \alpha $$ $$ \text{s.t.} \quad \begin{bmatrix} P & (A + BK)^\top P \\ P(A + BK) & P - Q - K^\top R K \end{bmatrix} \succeq 0, \quad \alpha b_\ell^2 \ge c_\ell^\top P^{-1} c_\ell, \quad \forall \ell. \]

通过 Schur 补和变量替换 \(Y = KP^{-1}\) 可化为标准 LMI。YALMIP + SeDuMi/MOSEK 求解。

工程含义

本质洞察：DARE 解 \(P\) 的物理意义是"从当前状态出发，用 LQR 控制到原点的总代价"。它是无限时域 LQR 值函数的 Hessian。把它作为终端代价，意味着告诉 MPC："\(N\) 步之后，假设你切换到 LQR，剩余代价就是 \(x_N^\top P x_N\)"——这正是"有限时域 + 无限尾"的精确对接。

机器人实操清单：

1. 7-DoF 机械臂关节调节 → 线性化 + DARE，\(\alpha\) 由关节力矩限制决定；
2. 四足 MPC 落脚点优化 → SRBD 模型线性化，\(P\) 对应 centroidal 动量代价；
3. AGV 轨迹跟踪 → 自行车模型线性化，\(\alpha\) 由转向角限制决定；
4. 四旋翼姿态 MPC → 绕悬停点线性化（注意避免 Euler 万向节锁）。

千万不要凭感觉手调 \(V_f\) 的权重——那几乎必然破坏 (A2)。唯一安全的做法是用 DARE。

跨领域类比：DARE 终端设计在 MPC 中的角色，类似于 Kalman 滤波中的 Riccati 方程——两者都是通过解一个代数 Riccati 方程得到"最优的二次型"。前者用于代价终端近似（MPC），后者用于误差协方差稳态（估计）。数学形式完全对称，物理含义互补——一个在控制端，一个在估计端。

⚠️ 常见陷阱

#	陷阱	后果	对策
1	\(P\) 不是 DARE 解而是随意取的正定矩阵	(A2) 破坏，闭环漂移/发散	严格解 DARE，验证 \(A_K^\top PA_K - P = -(Q + K^\top RK)\)
2	忘记检查 \(Kx \in \mathbb{U}\) 导致 \(\alpha\) 取太大	终端集内约束违反 → 递归可行性破坏	用椭圆切约束公式 \(\alpha^\ast = \min_\ell b_\ell^2 / (c_\ell^\top P^{-1} c_\ell)\)
3	非线性系统直接用线性 DARE 的 \(\alpha\)（不缩小）	Chen-Allgöwer 条件失效，高阶项破坏 Lyapunov	用 SOS 或二分法确定 \(\alpha_{\text{nl}}\)
4	\((A, B)\) 不可镇定（如全驱动卫星的姿态动力学取连续时间 \(A\) 但忘离散化）	DARE 无解	确认离散化后的 \((A_d, B_d)\) 可镇定

练习

1. 手算题：对双积分器 \(A = \begin{bmatrix}1&0.1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix}0.005\\0.1\end{bmatrix}\)，\(Q = I\)，\(R = 1\)，\(|u| \le 1\)。求 \(P\)，\(K\)，\(\alpha^\ast\)。
2. 编程题：用 scipy.linalg.solve_discrete_are 验证上题结果，画出椭球 \(X_f\) 与约束多面体的关系。
3. 思考题：如果系统有两个输入约束 \(|u_1| \le 1\)，\(|u_2| \le 2\)，\(\alpha^\ast\) 的公式如何修改？

---

§4 无终端约束 MPC：\(N\) 足够大即稳 ⭐⭐

动机：终端集的"代价"

§3 的 DARE 流水线很优雅，但有一个实际问题：终端约束 \(x_N \in X_f\) 限制了可行域 \(X_N\)。对于强非线性或大扰动系统（如四足在崎岖地形），终端椭球可能很小，导致 MPC 只能从很近的初始状态出发。

工业实践中，许多 MPC 实现直接设 \(X_f = \mathbb{X}\)（无终端约束）、\(V_f = 0\)（无终端代价），只保留阶段代价和约束。理论上这叫**无终端约束 MPC (unconstrained-horizon MPC)**。问题是：为什么它还能稳？

三大流派

视角 A：CLF 作终端代价（Jadbabaie-Hauser 2005）

Jadbabaie, Hauser (2005), On the stability of receding horizon control with a general terminal cost, IEEE TAC 50(5):674-678, DOI: 10.1109/TAC.2005.847055。

核心思想：如果 \(V_f\) 是某种"足够好的"近似值函数（不需要严格满足 A2），只要 \(N\) 够大，MPC 仍稳定。具体地，若 \(V_f\) 满足

\[ V_f(f(x, u)) - V_f(x) \le -\ell(x,u) + \varepsilon(x) \]

其中 \(\varepsilon\) 在足够多步后被阶段代价的累积"稀释"，则存在 \(N^\ast\) 使 \(N \ge N^\ast\) 时闭环稳定。

视角 B：Cost controllability（Grüne 2009 / Grüne-Pannek 2017）

这是最具操作性的理论——给出了 \(N^\ast\) 的**显式公式**。

Grüne (2009), Analysis and design of unconstrained nonlinear MPC schemes for finite and infinite dimensional systems, SIAM J. Control Optim. 48(2):1206-1228, DOI: 10.1137/070707853。

视角 C：受约束版本（Limón-Álamo-Salas-Camacho 2006）

Limón et al. (2006), On the stability of constrained MPC without terminal constraint, IEEE TAC 51(5):832-836, DOI: 10.1109/TAC.2006.875014。

在受约束线性系统上给出吸引域的显式刻画。

Grüne-Pannek 理论的完整展开

定义（指数 cost controllability）：存在常数 \(C \ge 1\)，\(\sigma \in (0,1)\)，使对所有 \(x \in \mathbb{X}\)，存在可行控制 \(\mathbf{u}\) 满足

\[ \ell(x_k, u_k) \le C \sigma^k \ell^\ast(x), \qquad k = 0, 1, \dots \]

其中 \(\ell^\ast(x) := \min_u \ell(x, u)\)。

直觉：系统能以指数速率"衰减"阶段代价。这对线性系统 \((A, B)\) 在 LQR 反馈 \(K\) 下自然满足——\(\|A_K^k x\| \le \|A_K\|^k \|x\|\)，若 \(\|A_K\| = \rho < 1\)，则 \(\ell(x_k, Kx_k) \le c \rho^{2k} \ell^\ast(x)\)，即 \(C = c\)，\(\sigma = \rho^2\)。

定理 4.1（Grüne-Pannek \(\alpha_N\) 主定理）

定义

\[ \gamma_N := \sum_{k=0}^{N-1} C \sigma^k = C \frac{1 - \sigma^N}{1 - \sigma}. \]

则存在次优指数

\[ \boxed{\alpha_N = 1 - \frac{(\gamma_N - 1)^N}{\prod_{k=2}^{N}(\gamma_k - 1)}.} \]

若 \(\alpha_N > 0\)，则无终端约束 MPC 闭环渐近稳定，且性能界 \(V_\infty^{\kappa_N}(x) \le \alpha_N^{-1} V_\infty^\ast(x)\)。

完整证明（relaxed DP，3 步）：

Step 1：由 cost controllability，\(V_N^\ast(x) \le \gamma_N \ell^\ast(x)\)。

证明：最优不劣于 cost-controllable 序列的代价，即 \(V_N^\ast(x) \le \sum_{k=0}^{N-1} C \sigma^k \ell^\ast(x) = \gamma_N \ell^\ast(x)\)。

Step 2（relaxed DP 不等式）：寻找 \(\alpha \in (0, 1]\) 使

\[ V_N^\ast(x^+) \le V_N^\ast(x) - \alpha \ell(x, \kappa_N(x)). \]

若此不等式成立，\(V_N^\ast\) 是 Lyapunov 函数（因为 \(\alpha \ell(x, \kappa_N) \ge \alpha \alpha_\ell(\|x\|)\)）。

Step 3：把 \(\alpha\) 显式解出。利用 DP 递归和 cost controllability 的界，经过代数操作（详见 Grüne-Pannek 2017 Theorem 6.15）得出 \(\alpha_N\) 的公式。关键是 \(\gamma_N\) 越大（\(N\) 越大），\(\alpha_N\) 越接近 1，性能越好。\(\blacksquare\)

\(\alpha_N\) 公式的完整推导步骤

Grune-Pannek 2017 (Theorem 6.15) 的推导较为抽象。这里给出一个简化但完整的推导路径，帮助读者理解 \(\alpha_N\) 公式的来源。

Step 1（值函数上界）

由 cost controllability：存在可行控制 \(\mathbf{u}\) 使 \(\ell(x_k, u_k) \le C\sigma^k\ell^\ast(x)\)。因此：

\[ V_N^\ast(x) \le \sum_{k=0}^{N-1} C\sigma^k\ell^\ast(x) = \gamma_N\ell^\ast(x) \]

其中 \(\gamma_N = C\frac{1-\sigma^N}{1-\sigma}\)。

Step 2（值函数下界）

\(V_N^\ast(x) \ge \ell(x, u_0^\ast) \ge \ell^\ast(x)\)（最优第一步不劣于任意可行 \(u\)）。

因此 \(\ell^\ast(x) \le V_N^\ast(x) \le \gamma_N \ell^\ast(x)\)——值函数被阶段代价的 \([1, \gamma_N]\) 倍夹住。

Step 3（relaxed DP 不等式）

无终端约束时，标准 Lyapunov 下降（\(V_N^\ast(x^+) \le V_N^\ast(x) - \ell(x, u_0^\ast)\)）不再直接成立。但通过 cost controllability 的界，可以证明存在 \(\alpha \in (0, 1]\) 使：

\[ V_N^\ast(x^+) \le V_N^\ast(x) - \alpha\ell(x, u_0^\ast) \]

\(\alpha\) 取决于 \(\gamma_N\)。直觉：\(\gamma_N\) 越小（\(N\) 越大、\(\sigma\) 越小），\(\alpha\) 越接近 1（越接近精确 Lyapunov 下降）。

Step 4（\(\alpha_N\) 的显式求解）

通过递归展开 relaxed DP 不等式（对 \(N-1, N-2, \ldots, 2\) 步 OCP），得到：

\[ \alpha_N = 1 - \frac{(\gamma_N - 1)^N}{\prod_{k=2}^{N}(\gamma_k - 1)} \]

当 \(\gamma_N\) 足够大（\(N\) 足够大）时，\((\gamma_N - 1)^N\) 相对于分母增长更快，\(\alpha_N \to 1\)。当 \(\gamma_N\) 太小（\(N\) 太小），\(\alpha_N\) 可能为负——此时无终端约束 MPC 不稳定。

最小预测步数估算

实操方法：

1. 估计 \(C\) 和 \(\sigma\)：对线性系统，\(C \approx \sigma_{\max}(P)/\lambda_{\min}(Q)\)，\(\sigma \approx \rho(A_K)^2\)；
2. 从 \(N = 1\) 开始递增，计算 \(\alpha_N\)，找到使 \(\alpha_N > 0\) 的最小 \(N^\ast\)；
3. 实际取 \(N = 1.5 N^\ast\) 留余量。

Python 实现：

def compute_alpha_N(C, sigma, N):
    """计算 Grune-Pannek 的 alpha_N"""
    gamma = [0, 0]  # gamma_0, gamma_1 未定义
    for k in range(2, N+1):
        gamma.append(C * (1 - sigma**k) / (1 - sigma))

    # 计算 alpha_N
    numerator = 1.0
    for k in range(2, N+1):
        numerator *= (gamma[k] - 1)

    if numerator == 0:
        return 0.0

    alpha = 1 - (gamma[N] - 1)**N / numerator
    return alpha

# 示例：双积分器
C, sigma = 3.0, 0.64
for N in range(2, 20):
    alpha = compute_alpha_N(C, sigma, N)
    print(f"N={N:2d}: alpha_N = {alpha:.4f} {'STABLE' if alpha > 0 else 'UNSTABLE'}")

典型数值：

系统	\(C\)	\(\sigma\)	\(N^\ast\)
双积分器（\(\rho(A_K) = 0.8\)）	3	0.64	4
倒立摆（\(\rho(A_K) = 0.9\)）	10	0.81	8
四旋翼（\(\rho(A_K) = 0.95\)）	20	0.90	15

工程经验：\(N = 10 \sim 30\) 在 100Hz-1kHz 控制回路中足够让四足/无人机 MPC 稳定——ETH OCS2、acados 教程中的典型配置。

反事实推理：如果 \(N\) 不够大（\(\alpha_N < 0\)）会怎样？MPC 可能"一直能求解但永远收敛不到目标"——状态在目标附近来回摆动。这是因为有限视野的"近视效应"：MPC 在当前步选了局部最优但长期有害的动作（类似贪心算法的陷阱）。

⚠️ 常见陷阱

💡 概念误区：把 Jadbabaie-Hauser 的"general terminal cost"误读成"任意代价都行"

定理要求 \(V_f\) 至少提供无限时域代价的局部上界近似，否则 \(N^\ast\) 可能趋于无穷。一个完全随机的 \(V_f\)（如常数）不满足条件。

🧠 思维陷阱：认为"去掉终端约束一定更好"

去掉终端约束确实扩大了可行域 \(X_N\)（因为约束少了），但代价是需要更大的 \(N\) 来保证稳定性。这是**可行域 vs 计算量**的权衡。在嵌入式系统上 \(N\) 受限时，带终端约束的短 \(N\) MPC 可能比无终端约束的长 \(N\) MPC 更适合。

练习

1. 计算题：若 \(C = 2\)，\(\sigma = 0.5\)，计算 \(N = 3, 5, 7, 10\) 时的 \(\alpha_N\)，确定最小 \(N^\ast\)。
2. 思考题：对一个 Schur 不稳定系统（\(\rho(A) > 1\)），cost controllability 是否自动满足？需要什么额外条件？
3. 编程题：对逆摆系统，用 CasADi 分别跑 \(N = 3, 10, 30\) 的无终端约束 MPC，画出闭环轨迹并验证 \(\alpha_N\) 公式的预测。

---

§5 Economic MPC：Dissipativity 与 Rotated Cost ⭐⭐⭐

动机：当"最优"不是"跟踪"

四足的能耗最小化、机械臂的负载均衡、无人机的 minimum-time、电池 SoC 调度——这些目标本质上是**经济指标** \(\ell_e(x, u)\)，而非跟踪型 \(\|x - x_s\|^2 + \|u - u_s\|^2\)。

关键区别：经济代价 \(\ell_e\) 在最优稳态 \((x_s, u_s)\) 处不为零（比如能耗为正常数），且不一定正定。Mayne 2000 的 (A3) 要求 \(\ell(x,u) \ge \alpha_\ell(\|x\|)\)——对 \(\ell_e\) 这通常不成立。那么 economic MPC 如何保证稳定性？

最优稳态

\[ (x_s, u_s) = \arg\min_{(x,u)} \ell_e(x, u) \quad \text{s.t.} \quad x = f(x, u),\ (x, u) \in \mathbb{X} \times \mathbb{U}. \]

这是一个静态优化问题：找到约束下经济指标最低的稳态操作点。

Strict Dissipativity

Angeli, Amrit, Rawlings (2012), On average performance and stability of economic model predictive control, IEEE TAC 57(7):1615-1626, DOI: 10.1109/TAC.2011.2176174。

定义：系统关于代价 \(\ell_e\) 在稳态 \((x_s, u_s)\) 处**strictly dissipative**，若存在存储函数 \(\lambda: \mathbb{X} \to \mathbb{R}\)（连续、\(\lambda(x_s) = 0\)）与 \(\mathcal{K}_\infty\) 函数 \(\rho\)，使

\[ \boxed{\lambda(f(x,u)) - \lambda(x) \le \ell_e(x,u) - \ell_e(x_s, u_s) - \rho(\|x - x_s\|).} \]

直觉类比：这像热力学中的耗散不等式。\(\lambda\) 是"内部能量"（存储），\(\ell_e - \ell_e(x_s, u_s)\) 是"供给率"（外部输入），\(\rho\) 是"真正被耗散掉的部分"。系统沿任何轨迹运行时，存储的增加不超过供给减去耗散——这意味着系统"不可能永远偏离稳态而不付出代价"。

Rotated Cost 变换

Diehl, Amrit, Rawlings (2011), A Lyapunov function for economic optimizing model predictive control, IEEE TAC 56(3):703-707, DOI: 10.1109/TAC.2010.2101291。

定义旋转代价：

\[ \tilde{\ell}(x, u) := \ell_e(x, u) - \ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x) - \lambda(f(x,u)). \]

关键性质：

1. Strict dissipativity 等价于 \(\tilde{\ell}(x, u) \ge \rho(\|x - x_s\|) \ge 0\)——旋转后代价**正定**！
2. \(\tilde{\ell}(x_s, u_s) = 0\)——稳态处为零。
3. 旋转不改变最优解（telescope 消去 \(\lambda\) 项）。

因此，旋转后的 MPC 满足 Mayne 2000 的 (A3)，可以套用标准四条件理论！

本质洞察：Rotated cost 的天才之处在于：它把一个"经济指标不正定"的问题，通过一个存储函数 \(\lambda\) 的"坐标变换"，转化为一个等价的"跟踪型正定代价"问题——而不改变最优解。Economic MPC 的稳定性分析因此完全归约到标准理论。

Rotated Cost 的完整推导

Rotated cost 变换是 economic MPC 理论中最精巧的技术之一。让我们逐步展示它如何把"非正定经济代价"转化为"正定跟踪代价"。

Step 1：定义旋转后的 OCP

原始 OCP：\(\min \sum_{k=0}^{N-1} \ell_e(x_k, u_k) + V_{f,e}(x_N)\)

旋转后 OCP：\(\min \sum_{k=0}^{N-1} \tilde\ell(x_k, u_k) + \tilde V_f(x_N)\)

其中 \(\tilde\ell(x,u) = \ell_e(x,u) - \ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x) - \lambda(f(x,u))\)，\(\tilde V_f(x) = V_{f,e}(x) - \lambda(x)\)。

Step 2：验证旋转不改变最优解

计算旋转后 OCP 的总代价：

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde\ell &= \sum_{k=0}^{N-1}\left[\ell_e(x_k, u_k) - \ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x_k) - \lambda(x_{k+1})\right] \\ &= \sum_{k=0}^{N-1} \ell_e(x_k, u_k) - N\ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x_0) - \lambda(x_N) \quad \text{(telescope!)} \end{aligned} \]

加上终端代价：\(\tilde V_f(x_N) = V_{f,e}(x_N) - \lambda(x_N)\)。

总代价：\(\sum \ell_e + V_{f,e}(x_N) - N\ell_e(x_s,u_s) + \lambda(x_0) - 2\lambda(x_N)\)。

由于 \(-N\ell_e(x_s,u_s) + \lambda(x_0)\) 是常数（不依赖控制序列），且 \(-2\lambda(x_N)\) 的变化对固定终端约束 \(x_N = x_s\) 也是常数（\(\lambda(x_s) = 0\)），最优控制序列不变。

Step 3：验证旋转后代价正定

由 strict dissipativity：

\[ \tilde\ell(x,u) = \ell_e(x,u) - \ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x) - \lambda(f(x,u)) \ge \rho(\|x - x_s\|) \]

因此 \(\tilde\ell \ge 0\)，\(\tilde\ell(x_s, u_s) = 0\)，且 \(\tilde\ell(x,u) \ge \rho(\|x - x_s\|) > 0\) for \(x \ne x_s\)。

这正是 Mayne 2000 (A3) 所要求的正定性！

Step 4：套用标准四条件

旋转后 OCP 完全满足 (A1)-(A3)——因为 \(\tilde\ell\) 正定、终端集正不变、终端代价 \(\tilde V_f\) 可以设计为满足 (A2)。所以标准 Lyapunov 证明直接适用。

本质洞察：Rotated cost 的深层含义是——存储函数 \(\lambda\) 扮演了"坐标变换"的角色。它把经济代价空间中的非凸/非正定 landscape 转化为跟踪代价空间中的凸/正定 landscape，而不改变最优轨迹。这类似于物理学中选择合适的坐标系简化运动方程——问题的物理没变，但数学处理变得容易得多。

Economic MPC 的工程诊断流程

在实际应用中，如何判断你的经济代价是否满足 strict dissipativity？以下是一个系统化的诊断流程：

Step 1：求最优稳态

解 \(\min \ell_e(x,u)\) s.t. \(x = f(x,u)\)（静态优化问题）。如果有多个稳态极小点，dissipativity 可能不成立（存在多个吸引子→极限环）。

Step 2：检验 Turnpike 性质

对不同初始条件跑开环最优控制（长时域 \(N = 100\)-\(1000\)）。如果最优轨迹的中段都紧贴 \((x_s, u_s)\)（高速公路效应），则 dissipativity 很可能成立。

Step 3：构造 \(\lambda\)

对线性系统 + 二次经济代价，\(\lambda(x) = (x-x_s)^\top \Lambda (x-x_s) + \lambda_0^\top(x-x_s)\) 是自然候选。\(\Lambda\) 和 \(\lambda_0\) 通过解一个 SDP 确定。

对非线性系统，用 SOS（Sum-of-Squares）编程寻找多项式 \(\lambda\)。

Step 4：验证不等式

在 \(\mathbb{X} \times \mathbb{U}\) 的网格上检验 \(\tilde\ell(x,u) \ge \rho(\|x-x_s\|)\)。如果存在违反点，或者 \(\rho\) 的下界太小（如 \(\rho(r) = 10^{-8}r^2\)），说明 dissipativity 虽然在理论上成立但实际余量不足——可能需要修改代价或约束。

核心定理

定理 5.1（Angeli-Amrit-Rawlings 2012 主定理）

在 strict dissipativity、终端约束 \(x_N = x_s\)（或带终端代价/终端集的弱化版本）下：

1. 平均性能：\(\limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{k=0}^{T-1} \ell_e(x_k, u_k) \le \ell_e(x_s, u_s)\)；
2. 渐近稳定：\((x_s, u_s)\) 是闭环的渐近稳定平衡。

Dissipativity 的必要性与 Turnpike 等价

Müller-Angeli-Allgöwer (2015), IEEE TAC 60(6):1671-1676：在温和条件下，strict dissipativity 是 economic MPC 渐近稳定的**必要条件**。

Grüne-Müller (2016), On the relation between strict dissipativity and turnpike, Syst. Control Lett. 90:45-53：strict dissipativity ⟺ turnpike property。

Turnpike（收费公路）性质：最优轨迹的中段几乎全程紧贴最优稳态 \(x_s\)——像开高速公路。无论起点和终点如何变化，最优轨迹都会"上高速、走主路、下高速"。

工程诊断

何时需要检验 dissipativity？当你的 MPC 代价不是标准二次跟踪型时：

• 最小化能耗 \(\ell_e = P_{\text{motor}}(u)\)
• 最大化产率 \(\ell_e = -\text{yield}(x, u)\)
• 时间最优 \(\ell_e = 1\)（所有步等权）
• 经济调度 \(\ell_e = \text{price}(t) \cdot P(u)\)

SOS 验证 dissipativity：对多项式系统，把 strict dissipativity 不等式写成 SOS 约束，用 SOSTOOLS 或 YALMIP 求解 \(\lambda\)。若找到可行的 \(\lambda\)，则 dissipativity 成立。

⚠️ 常见陷阱

#	陷阱	后果	对策
1	对 economic 代价直接用 \((A3)\)	理论框架不适用，可能出现周期极限环	用 dissipativity + rotated cost 分析
2	\(\lambda\) 的选取不满足连续性	旋转后代价的正定性退化	用 SOS/LMI 系统性求解
3	终端约束设为 \(x_N = x_s\) 但 \(x_s\) 不在 \(\mathbb{X}\) 内部	可行域为空	检查最优稳态的约束活跃性

练习

1. 概念题：对线性系统 \(x^+ = Ax + Bu\) 和二次经济代价 \(\ell_e = x^\top H x + u^\top G u\)（\(H\) 不定），写出 strict dissipativity 条件，并说明 \(\lambda\) 应取什么形式。
2. 编程题：构造一个 economic MPC 使机器人以最小能耗保持匀速直线运动。验证 dissipativity 并与跟踪型 MPC 对比能耗。

---

§6 Tube MPC：鲁棒递归可行性的标准答案 ⭐⭐

动机

实际系统总有扰动：地形不平、摩擦变化、风扰、SLAM 估计误差。标称 MPC 假设模型完美，这在边界工况下是危险的。Tube MPC 是处理有界扰动的"标准答案"。

Mayne, Seron, Raković (2005), Robust model predictive control of constrained linear systems with bounded disturbances, Automatica 41(2):219-224, DOI: 10.1016/j.automatica.2004.08.019。

问题设置

\[ x_{k+1} = Ax_k + Bu_k + w_k, \quad w_k \in \mathbb{W} \text{ (紧凸集, 含 0)}, \quad (x,u) \in \mathbb{X} \times \mathbb{U}. \]

名义系统（忽略扰动）：\(z_{k+1} = Az_k + Bv_k\)。

控制律结构：

\[ u_k = v_k + K(x_k - z_k). \]

\(K\) 使 \(A_K := A + BK\) Schur。\(v_k\) 是名义 MPC 产生的前馈，\(K(x_k - z_k)\) 是把真实状态"拉回"名义轨迹的反馈。

误差动力：\(e_k := x_k - z_k\) 满足

\[ e_{k+1} = A_K e_k + w_k. \]

这是一个被扰动驱动的稳定线性系统。

鲁棒正不变集 (RPI)

定义：\(\mathbb{Z}\) 称为 \((A_K, \mathbb{W})\) 的 RPI（Robust Positively Invariant set），若

\[ A_K \mathbb{Z} \oplus \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z}. \]

几何直觉：无论扰动如何选取（只要 \(w \in \mathbb{W}\)），从 \(\mathbb{Z}\) 出发的误差永远留在 \(\mathbb{Z}\) 内。\(\mathbb{Z}\) 是误差的"保险箱"。

最小 RPI (mRPI)：

\[ \mathbb{Z}_\infty := \bigoplus_{i=0}^\infty A_K^i \mathbb{W} = \mathbb{W} \oplus A_K \mathbb{W} \oplus A_K^2 \mathbb{W} \oplus \cdots \]

这是所有 RPI 中最小的——任何 RPI 都包含 \(\mathbb{Z}_\infty\)。级数收敛因为 \(A_K\) Schur（\(\|A_K^i\| \to 0\)）。

mRPI 计算（Raković et al. 2005）

Raković, Kerrigan, Kouramas, Mayne (2005), Invariant approximations of the minimal robust positively invariant set, IEEE TAC 50(3):406-410, DOI: 10.1109/TAC.2005.843854。

找整数 \(s\) 与 \(\alpha \in [0,1)\) 使 \(A_K^s \mathbb{W} \subseteq \alpha \mathbb{W}\)。则

\[ \boxed{\mathbb{Z}_\alpha^s := (1 - \alpha)^{-1} \bigoplus_{i=0}^{s-1} A_K^i \mathbb{W}} \]

是 \((A_K, \mathbb{W})\) 的 RPI 外逼近，且 \(\mathbb{Z}_\infty \subseteq \mathbb{Z}_\alpha^s \subseteq \mathbb{Z}_\infty \oplus B_\varepsilon\)。

算法：对给定精度 \(\varepsilon > 0\)，迭代 \(s = 1, 2, \dots\) 直到 \(A_K^s \mathbb{W} \subseteq \alpha \mathbb{W}\)（support function 验证）。对 \(A_K\) 谱半径 \(\rho < 1\)，\(s = O(\log(1/\varepsilon) / \log(1/\rho))\)。

约束收紧

名义 OCP 使用**收紧后的约束**：

\[ z_k \in \mathbb{X} \ominus \mathbb{Z}, \qquad v_k \in \mathbb{U} \ominus K\mathbb{Z}. \]

其中 Pontryagin 差 \(A \ominus B := \{a : a + b \in A,\ \forall b \in B\}\)。

直觉：名义轨迹留出 \(\mathbb{Z}\) 大小的"安全余量"，使得真实轨迹（= 名义 + 误差 \(\in \mathbb{Z}\)）仍在原始约束内。

主定理

定理 6.1（Mayne-Seron-Raković 2005）

若初始化 \(x_0 \in z_0 \oplus \mathbb{Z}\) 且名义 OCP 在 \(z_0\) 可行，则对任意容许扰动序列 \(\{w_k\} \subset \mathbb{W}\)：

1. 鲁棒递归可行性：名义 OCP 步步可行；
2. 鲁棒约束满足：\(x_k \in \mathbb{X}\)，\(u_k \in \mathbb{U}\)；
3. 鲁棒指数稳定性（集合意义）：\(z_k \to 0\) 指数收敛，\(\mathrm{dist}(x_k, \mathbb{Z}) \to 0\)。

完整证明：

Step 1（误差有界）：\(e_0 \in \mathbb{Z}\)（初始化保证）。由 \(\mathbb{Z}\) 是 RPI：\(e_1 = A_K e_0 + w_0 \in A_K \mathbb{Z} \oplus \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z}\)。归纳得 \(e_k \in \mathbb{Z}\)，\(\forall k\)。

Step 2（约束满足）：\(x_k = z_k + e_k \in (\mathbb{X} \ominus \mathbb{Z}) \oplus \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{X}\)；\(u_k = v_k + K e_k \in (\mathbb{U} \ominus K\mathbb{Z}) \oplus K\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{U}\)。

Step 3（名义稳定）：名义系统 \(z^+ = Az + Bv\) 在收紧约束 \(\mathbb{X} \ominus \mathbb{Z}\)，\(\mathbb{U} \ominus K\mathbb{Z}\) 下，设计终端 \((V_f, X_f, \kappa_f)\) 满足 Mayne 2000 四条件 → \(z_k \to 0\)。

Step 4：\(x_k = z_k + e_k \to 0 + \mathbb{Z}\)，即 \(x_k\) 收敛到 \(\mathbb{Z}\)（包含原点的小集合）。\(\blacksquare\)

Tube MPC 的整体架构

                    ┌─────────────────────┐
  真实系统          │  x_{k+1} = Ax + Bu + w  │
                    └──────────┬──────────┘
                               │ x_k (测量)
                               ▼
                    ┌─────────────────────┐
  状态分解          │  z_k = x_k - e_k      │  (e_k ∈ Z 有界)
                    └──────────┬──────────┘
                               │ z_k
                               ▼
            ┌──────────────────────────────────┐
  名义 MPC  │  min Σℓ(z,v) + V_f(z_N)          │
            │  s.t. z ∈ X⊖Z, v ∈ U⊖KZ         │
            └──────────────────┬───────────────┘
                               │ v_k
                               ▼
            ┌──────────────────────────────────┐
  控制律    │  u_k = v_k + K(x_k - z_k)        │
            └──────────────────────────────────┘

Tube MPC 设计的完整工程配方

以下是一个系统化的 Tube MPC 设计流程，从系统辨识到在线部署的每一步都给出具体操作。

Step 1：设计反馈 \(K\)

选择 \(K\) 使 \(A_K = A + BK\) 的谱半径 \(\rho(A_K)\) 尽量小。

方法	公式	特点
LQR	\(K = -(R + B^\top PB)^{-1}B^\top PA\)	平衡性能与能耗
Deadbeat	\(K\) 使 \(A_K\) 所有特征值为 0	最小 \(\mathbb{Z}\)，但 \(\|K\|\) 大
\(H_\infty\)	最小化 \(\|G_{w\to x}\|_\infty\)	对最坏扰动最鲁棒
LMI 联合优化	\(\min \text{trace}(\mathbb{Z})\) s.t. LMI 稳定	直接最小化 tube 大小

经验建议：先用 LQR，如果 \(\mathbb{Z}\) 太大（收紧后可行域太小），再切 deadbeat 或 LMI。

Step 2：估计扰动集 \(\mathbb{W}\)

扰动来源	估计方法	典型形式
SLAM 估计残差	\(3\sigma\) 外接盒	\(\mathbb{W} = [-w_x, w_x] \times \cdots\)
模型不确定性	Monte Carlo 仿真	\(\mathbb{W} = \text{convhull}(\{w_i\})\)
风扰（四旋翼）	最大风速 × 空气动力学模型	\(\|w\| \le w_{\max}\)
地面摩擦变化（腿足）	\((\mu_{\min}, \mu_{\max})\) → 力偏差	矩形

关键原则：\(\mathbb{W}\) 宁可偏大不可偏小。偏大 → 保守（可行域缩小但安全）；偏小 → 真实扰动跑出 tube → OCP infeasible → 系统崩溃。推荐：\(\mathbb{W}_\text{design} = 2 \times \mathbb{W}_\text{estimated}\)。

Step 3：计算 mRPI \(\mathbb{Z}\)

使用 Rakovic 2005 的算法。Python 实现（用 polytope 库）：

import polytope
import numpy as np

def compute_mrpi(Ak, W, s_max=50, alpha_tol=0.001):
    """计算最小 RPI 的外逼近
    Ak: 闭环矩阵 A+BK
    W: 扰动集 (polytope.Polytope)
    """
    Z = W.copy()
    for s in range(1, s_max):
        AkW = polytope.Polytope(W.A @ np.linalg.matrix_power(Ak, s), W.b)
        # 检查 Ak^s W ⊆ alpha * W
        alpha = max(W.A @ np.linalg.matrix_power(Ak, s) @ v / W.b 
                    for v in polytope.extreme(W))
        if alpha < alpha_tol:
            Z = Z + AkW  # Minkowski sum
            Z = Z * (1 / (1 - alpha))
            return Z, s
        Z = Z + AkW
    raise RuntimeError("mRPI 未收敛")

Step 4：约束收紧

\[ \mathbb{X}_\text{tight} = \mathbb{X} \ominus \mathbb{Z}, \qquad \mathbb{U}_\text{tight} = \mathbb{U} \ominus K\mathbb{Z} \]

Pontryagin 差用 polytope 库直接计算。如果收紧后可行域为空（\(\mathbb{X}_\text{tight} = \emptyset\)），说明 \(\mathbb{Z}\) 太大 → 改善 \(K\)（使 \(\rho(A_K)\) 更小）或放大 \(\mathbb{X}\)。

Step 5：在线运行

在线只解名义 OCP（规模与标称 MPC 完全相同！），用 \(v_k\) 作前馈，\(K(x_k - z_k)\) 作反馈。

MPT3 工具箱原生支持全部 5 步。Python 用 polytope + CasADi 组合。

Tube MPC 的完整稳定性证明链

把 Tube MPC 的稳定性证明与前面的 Mayne 四条件串联起来，形成一个完整的逻辑链：

Step 1: 设计 K → A_K Schur 稳定
  ↓
Step 2: 构造 RPI Z → 误差 e 有界
  ↓
Step 3: 约束收紧 X⊖Z, U⊖KZ → 名义系统约束
  ↓
Step 4: 名义 MPC 满足 Mayne 四条件 → z_k → 0 渐近稳定
  ↓
Step 5: x_k = z_k + e_k → 0 + Z → 集合渐近稳定
  ↓
Step 6: 约束满足保证 → x_k ∈ X, u_k ∈ U ∀k

每一步依赖前一步的结论。如果任何一步的假设被破坏（如 \(\mathbb{W}\) 估计过小、\(K\) 不稳定、收紧后可行域为空），整个证明链断裂——系统可能在某一时刻 OCP infeasible 或约束违反。

反事实推理：如果不做约束收紧直接用原始约束会怎样？名义轨迹满足 \(z_k \in \mathbb{X}\)，但真实轨迹 \(x_k = z_k + e_k\) 可能超出 \(\mathbb{X}\)（因为 \(e_k \in \mathbb{Z}\) 不为零）。约束收紧正是为了给误差 \(e_k\) 预留空间——名义轨迹"缩回来" \(\mathbb{Z}\) 的距离，确保真实轨迹仍在原始约束内。

⚠️ 常见陷阱

#	陷阱	后果	对策
1	\(\mathbb{W}\) 估计过小	真实扰动跑出 tube → OCP infeasible	\(\mathbb{W}\) 外扩 \(2\times\) 安全系数
2	\(K\) 选得使 \(\rho(A_K)\) 太接近 1	mRPI \(\mathbb{Z}\) 极大 → 收紧后约束为空	用 deadbeat 或 LQR 使 \(\rho(A_K)\) 足够小
3	约束收紧后 \(\mathbb{X} \ominus \mathbb{Z} = \emptyset\)	名义 MPC 无可行域	减小 \(\mathbb{Z}\)（改善 \(K\)）或放大 \(\mathbb{X}\)

练习

1. 手算题：给 \(A_K = 0.5 I_2\)，\(\mathbb{W} = [-0.1, 0.1]^2\)。手算 \(\mathbb{Z}_\alpha^s\)，取 \(s = 3\)，\(\alpha = 0.125\)。
2. 编程题：用 MPT3 或 Python polytope 库计算一个 2D 系统的 mRPI 并画图。
3. 设计题：对四足机器人 SLAM 残差 \(\sim \mathcal{N}(0, \Sigma)\)，如何选取 \(\mathbb{W}\)？讨论概率保证与保守性的权衡。

---

§7 ISS-MPC：最优值函数作 ISS-Lyapunov 函数 ⭐⭐⭐

动机

Tube MPC 需要**精确知道扰动界** \(\mathbb{W}\)。但很多时候扰动大小是渐变的（如风速变化），或者你只想分析"标称 MPC 对小扰动天然有多鲁棒"。ISS-MPC 理论回答这个问题。

ISS 定义回顾

离散系统 \(x^+ = F(x, w)\) 称为 ISS (Input-to-State Stable) 于域 \(\Xi\)，若存在 \(\beta \in \mathcal{KL}\)，\(\gamma \in \mathcal{K}\)：

\[ \|x_k\| \le \beta(\|x_0\|, k) + \gamma(\|w\|_{[0,k-1]}), \quad \forall x_0 \in \Xi. \]

ISS-Lyapunov 函数 \(V: \Xi \to \mathbb{R}_{\ge 0}\)：存在 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathcal{K}_\infty\)，\(\sigma \in \mathcal{K}\)：

\[ \alpha_1(\|x\|) \le V(x) \le \alpha_2(\|x\|), \qquad V(F(x,w)) - V(x) \le -\alpha_3(\|x\|) + \sigma(\|w\|). \]

核心定理

定理 7.1（Limón et al. 2009）

在以下条件下——\(f, \ell, V_f\) 在紧集上 Lipschitz（常数 \(L_f, L_\ell, L_V\)）；\(X_f\) 对 \((f, \kappa_f)\) 正不变；\(V_f(f(x,\kappa_f(x))) - V_f(x) \le -\ell(x, \kappa_f(x))\)；\(\ell(x,u) \ge \alpha_\ell(\|x\|)\)——则 \(V_N^\ast\) 是 regional ISS-Lyapunov 函数：

\[ V_N^\ast(x^+) - V_N^\ast(x) \le -\alpha_\ell(\|x\|) + L_V L_f^{N-1} \|w\|. \]

工程含义：

1. \(N\) 越大，扰动增益 \(L_V L_f^{N-1}\) 越大（若 \(L_f > 1\)）。"预测越远 = 越怕扰动"——这解释了为什么超长 horizon 的 NMPC 在有扰动时不稳定。
2. 标称 MPC 天然有一定鲁棒性（inherent robustness），只要扰动足够小——这解释了为什么工业 MPC 不配 tube 也能跑。
3. Tube MPC 的优势：把 Lipschitz 扰动增益替换为常数 \(\mathbb{Z}\)，不随 \(N\) 增长。

ISS-Lyapunov 不等式的完整推导

为了让读者真正理解 \(L_V L_f^{N-1}\) 的来源，我们给出完整推导。

设定：标称 MPC 的最优序列为 \(\mathbf{u}^\star(x)\)，对应轨迹 \(x_0^\star = x, x_1^\star, \ldots, x_N^\star\)。现在系统受扰动 \(w\)，真实下一步状态为 \(x^+ = f(x, u_0^\star) + w\)。

Step 1：构造候选序列

对 \(x^+\)，构造候选序列 \(\tilde{\mathbf{u}} = (u_1^\star, \ldots, u_{N-1}^\star, \kappa_f(x_N^\star))\)（与无扰动情况相同）。但现在候选轨迹从 \(x^+\) 出发：

\[ \tilde x_1 = f(x^+, u_1^\star) = f(x_1^\star + \delta_1, u_1^\star) \]

其中 \(\delta_1 = x^+ - x_1^\star = w + f(x, u_0^\star) - f(x, u_0^\star) = w\)（一步后误差 = 扰动）。

Step 2：传播误差

设 \(\tilde x_k = x_k^\star + \delta_k\)，由动力学 Lipschitz 性：

\[ \|\delta_{k+1}\| = \|f(\tilde x_k, u_k^\star) - f(x_k^\star, u_k^\star)\| \le L_f \|\delta_k\| \]

所以 \(\|\delta_k\| \le L_f^{k-1}\|w\|\)。

Step 3：代价差异

候选代价与最优代价的差异来自两项：(a) 去掉了第一步代价 \(\ell(x, u_0^\star)\)，(b) 轨迹偏离导致代价变化。

\[ V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}) - V_N^\ast(x) \le -\ell(x, u_0^\star) + \sum_{k=1}^{N-1}|\ell(\tilde x_k, u_k^\star) - \ell(x_k^\star, u_k^\star)| + |V_f(\tilde x_N) - V_f(x_N^\star)| \]

由 \(\ell\) 和 \(V_f\) 的 Lipschitz 性（常数 \(L_\ell, L_V\)）：

\[ |\ell(\tilde x_k, u_k^\star) - \ell(x_k^\star, u_k^\star)| \le L_\ell \|\delta_k\| \le L_\ell L_f^{k-1}\|w\| \]

\[ |V_f(\tilde x_N) - V_f(x_N^\star)| \le L_V \|\delta_N\| \le L_V L_f^{N-1}\|w\| \]

Step 4：合并

\[ V_N^\ast(x^+) \le V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}) \le V_N^\ast(x) - \ell(x, u_0^\star) + \left(L_\ell \sum_{k=0}^{N-2} L_f^k + L_V L_f^{N-1}\right)\|w\| \]

当 \(L_f > 1\) 时，主导项是 \(L_V L_f^{N-1}\|w\|\)——这就是 ISS 增益。

工程含义：对不稳定系统（\(L_f > 1\)），\(N\) 越大 ISS 增益越大→对扰动越敏感。这解释了一个实践中常见的"反直觉"现象：把四足 MPC 的 horizon 从 20 增到 50 后，在有 SLAM 噪声的情况下反而更抖。

什么时候 ISS 增益是安全的？

当 \(L_f < 1\)（稳定系统），\(\sum L_f^k < 1/(1-L_f)\) 收敛，ISS 增益有限且不随 \(N\) 增大。对这类系统（如阻尼振子、稳定线性系统），MPC 天然鲁棒——即使不加 tube 也能承受小扰动。

当 \(L_f > 1\)（不稳定系统，如倒立摆），ISS 增益指数增长。此时**必须用 Tube MPC** 或限制 \(N\)——否则扰动通过 \(L_f^N\) 放大后可能把系统推出可行域。

ISS-MPC 与 Tube MPC 的统一视角

两者处理扰动的思路不同但互补：

维度	ISS-MPC	Tube MPC
扰动处理	隐式（\(V_N^\ast\) 天然鲁棒）	显式（\(\mathbb{Z}\) + 约束收紧）
需要知道 \(\mathbb{W}\)	否（分析用 \(L_f\)）	是（设计用 \(\mathbb{W}\)）
约束保证	概率性（小扰动）	确定性（\(w \in \mathbb{W}\)）
计算开销	同标称 MPC	同标称 MPC + 离线 RPI
适用场景	扰动小且连续	扰动有界且可估计

本质洞察：ISS-MPC 告诉你"标称 MPC 本身有多鲁棒"（inherent robustness），Tube MPC 告诉你"如何系统化地增强鲁棒性"（designed robustness）。前者是分析工具，后者是设计工具。

练习

1. 推导题：证明 ISS-Lyapunov 不等式中的 \(L_V L_f^{N-1}\) 项的来源。提示：比较扰动下的轨迹与名义轨迹的偏差（上述推导即答案骨架）。
2. 思考题：对稳定系统（\(L_f < 1\)），\(N\) 增大反而让 ISS 增益变小。解释为什么（提示：\(L_V L_f^{N-1} \to 0\)）。
3. 计算题：对倒立摆 \(L_f = 1.5\)，\(L_V = 10\)，\(N = 20\)。计算 ISS 增益 \(L_V L_f^{N-1}\)。以 \(w = 0.01\) rad（SLAM 角度估计误差）代入，估计 \(V_N^\ast\) 的增量。是否可能导致 infeasibility？

---

§8 MPC 与 CLF/CBF 统一 ⭐⭐⭐

三条纽带

纽带一：\(V_N^\ast\) 即 CLF

由定理 2.1，\(V_N^\ast(x^+) - V_N^\ast(x) \le -\alpha_\ell(\|x\|)\)。CLF 定义（Sontag 1989）要求 \(\forall x \ne 0\)，\(\exists u: \Delta V(x,u) < 0\)。MPC 的 \(\kappa_N(x)\) 恰是那个见证者。因此 MPC 构造了 CLF 的标准方式。

双重解读： - 角度 1（控制论）：MPC 是一个隐式的 CLF 构造器——你不需要手动找 Lyapunov 函数，MPC 的优化过程自动构造了一个。 - 角度 2（优化论）：CLF 是 MPC 的"降级版"——CLF-QP 只要求 \(\Delta V < 0\)（可行即可），MPC 要求代价最小化（最优）。MPC 比 CLF 更强。

纽带二：CBF 作 MPC 安全约束

Zeng, Zhang, Sreenath (2021), Safety-Critical Model Predictive Control with Discrete-Time Control Barrier Function, ACC 2021, arXiv: 2007.11718。

离散时间 CBF (DT-CBF)：\(h: \mathbb{X} \to \mathbb{R}\)，安全集 \(\mathcal{C} = \{x : h(x) \ge 0\}\)。约束：

\[ \boxed{h(x_{k+1}) - h(x_k) \ge -\gamma h(x_k), \qquad 0 < \gamma \le 1.} \]

等价于 \(h(x_{k+1}) \ge (1-\gamma) h(x_k)\)。把该约束加入 OCP 的每一步得 MPC-CBF。

纽带三：\(N = 1\) MPC 退化为 CBF-QP

\[ \min_u \|u - u_{\text{ref}}\|^2 \quad \text{s.t.} \quad h(f(x,u)) \ge (1-\gamma) h(x),\ u \in \mathbb{U}. \]

这正是 CBF-QP 的标准形式（Ames-Xu-Grizzle-Tabuada 2017）。

MPC-CBF 的递归可行性问题

MPC-CBF 有一个标称 MPC 没有的新问题：CBF 约束可能与其他约束冲突，导致 OCP infeasible。

冲突场景示例：四足机器人在窄走廊中——CBF 约束要求"离墙至少 0.3 m"（安全），但走廊宽度只有 0.6 m（物理约束）。如果两侧 CBF 同时激活，\(h_\text{left}(x) \ge 0\) 和 \(h_\text{right}(x) \ge 0\) 可能无法同时满足。

标准解决方案：用松弛变量 \(\delta \ge 0\) 软化 CBF 约束：

\[ h(x_{k+1}) \ge (1-\gamma)h(x_k) - \delta_k, \qquad \delta_k \ge 0 \]

在代价中加 \(w_\delta \|\delta\|^2\)（\(w_\delta \gg 1\)）。这样 OCP 永远可行（\(\delta\) 可以无限大），但 CBF 违反会受到严厉惩罚。

更好的方案（CBF 优先级）：

对多个 CBF 设置优先级——高优先级 CBF（如不跌倒）硬约束，低优先级 CBF（如离障碍物远一点）软约束。这与 §3.10 的 Box-DDP + ALTRO 的约束分类思想完全一致。

MPC、CLF、CBF 三者的统一理论框架

三者的关系可以用一个谱系图完整展示：

无限时域最优控制 (V*)
├── 有限近似: MPC (V_N*)     ← 本章核心
│   ├── V_N* 是 CLF          ← Lyapunov 稳定性
│   └── CBF 作安全约束       ← 可行域内安全
├── 退化 N=∞: CLF            ← Sontag 1989
│   └── CLF-QP (N=1 MPC)     ← 最简实现
└── 安全保证: CBF            ← Ames 2014/2017
    └── CBF-QP               ← 安全+近最优

统一的数学结构：

\[ \underbrace{\min_u \|u - u_\text{ref}\|^2}_{\text{最小修正}} \quad \text{s.t.} \quad \underbrace{\Delta V(x, u) \le -\alpha V(x)}_{\text{CLF（稳定性）}}, \quad \underbrace{h(f(x,u)) \ge (1-\gamma)h(x)}_{\text{CBF（安全性）}}, \quad \underbrace{u \in \mathbb{U}}_{\text{约束}} \]

这是一个 QP（如果 \(V, h, f\) 是二次/仿射的），否则是非线性规划。MPC 的 \(V_N^\ast\) 自动满足 CLF 条件（本章定理 2.1 的推论），CBF 约束可以作为路径约束加入 OCP。

机器人三选一决策：

需求	方案	\(N\)	计算量	理论保证
快响应、静态障碍	CBF-QP	1	\(O(m^3)\) QP	安全 + 稳定（如果 CLF+CBF 兼容）
需前瞻、动态障碍	MPC-CBF	10-30	\(O(N(n+m)^3)\)	安全 + 稳定 + 最优
多约束 + 最优性	完整 MPC + CBF 约束	20-50	同上	最完整
极低延迟（1 kHz+）	CBF-QP + LQR ref	1	\(O(m^3)\)	安全 + 局部稳定

⚠️ 常见陷阱

#	陷阱	后果	对策
1	CBF 约束 \(\gamma > 1\)	非 valid DT-CBF（安全集不正不变）	确保 \(\gamma \in (0, 1]\)
2	MPC-CBF 递归可行性不自动保证	某步 OCP infeasible → 无安全输出	用 slack variable 软化 CBF 约束
3	CBF 选取不当（如 \(h\) 不相对度 1）	需要高阶 CBF 或 exponential CBF	检查 \(h\) 的 relative degree

练习

1. 设计题：构造 2D 双积分器绕障碍 \(\|p - p_{\text{obs}}\| \ge r\) 的 MPC-CBF。写出完整 OCP 约束清单。
2. 对比题：对同一避障场景，分别用 CBF-QP 和 MPC-CBF（\(N = 10\)）仿真，比较轨迹平滑度和约束满足余量。

---

选学部分

§A Stochastic MPC ⭐⭐⭐⭐

三种范式

范式	核心思想	约束处理	计算量	适用
Analytic SMPC	已知矩，Cantelli/Chebyshev 界	\(\Pr(g \le 0) \ge 1-\varepsilon\) → 确定性收紧	低	Gaussian 扰动
Scenario MPC	采样 \(N_s\) 条扰动轨迹	对所有采样满足约束	\(O(N_s \cdot \text{QP})\)	未知分布
DR-MPC	Wasserstein 球分布鲁棒	对球内最坏分布满足	高	小样本 + 分布偏移

关键参考：Mesbah (2016), Stochastic MPC: Overview and perspectives, IEEE CSM 36(6):30-44。

Scenario MPC 的样本复杂度：Calafiore-Campi 2006 的经典结果给出：

\[ N_s \ge \frac{2}{\varepsilon}\left(\ln \frac{1}{\beta} + d\right) \]

其中 \(d\) 为决策变量维度，\(\varepsilon\) 为违约概率，\(\beta\) 为置信度。

数值示例：四足 MPC \(d = 120\)（\(Nm = 12 \times 10\)），要求 \(\varepsilon = 0.01\)（99% 概率满足约束），\(\beta = 10^{-6}\)（极高置信），则 \(N_s \ge 200 \times (14 + 120) = 26800\) 条采样轨迹——计算上几乎不可行。这解释了为什么 Scenario MPC 在高维机器人中很少使用（主要用于化工过程控制，\(d < 20\)）。

Analytic SMPC 的实用方法：对 Gaussian 扰动 \(w \sim \mathcal{N}(0, \Sigma_w)\)，用 Cantelli 不等式把概率约束转化为确定性约束：

\[ \Pr(c^\top x \le b) \ge 1-\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad c^\top \bar x + \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}} \sqrt{c^\top \Sigma_x c} \le b \]

其中 \(\Sigma_x\) 是状态的协方差矩阵（由 Kalman 滤波或不确定性传播得到）。这是 Tube MPC 的**概率版**——收紧量由标准差决定而非最坏情况。

Stochastic MPC 与 Tube MPC 的对比

维度	Tube MPC	Stochastic MPC
扰动假设	有界集 \(\mathbb{W}\)	概率分布 \(P_w\)
约束满足	确定性（100%）	概率性（\(\ge 1-\varepsilon\)）
保守性	高（最坏情况设计）	低（平均情况设计）
适用	安全关键（航天、医疗）	性能优先（自动驾驶、物流）

§B 输出反馈 MPC ⭐⭐⭐

真实系统通常不能直接测量全部状态——需要从传感器输出 \(y = h(x) + v\) 估计状态。输出反馈 MPC 需要把状态估计与 MPC 控制器联合设计。

三类方案：

方案	估计器	MPC	理论保证	计算量
Luenberger + Tube	线性观测器	Tube MPC	ISS（分离原理）	低
MHE + MPC	移动时域估计	标准 MPC	联合 ISS	2× MPC
EKF + 名义 MPC	扩展 Kalman	标准 MPC	无保证（工程可行）	低

分离原理在 MPC 中的适用性

线性系统的分离原理（observer + controller 可以独立设计）在非线性 MPC 中**不成立**——观测误差可能把状态推出 MPC 可行域。但对**locally Lipschitz** 系统，可以通过 ISS 分析证明"如果观测误差有界、MPC 本身 ISS，则联合闭环 ISS"（Mayne et al. 2006）。

MHE + MPC 的统一框架

Moving Horizon Estimation（MHE）与 MPC 结构对称——都是有限时域优化：

维度	MPC（前瞻）	MHE（回顾）
时域	未来 \(N\) 步	过去 \(M\) 步
决策变量	\(u_{0:N-1}\)	\(x_{-M}, w_{-M:-1}\)
约束	状态/控制约束	动力学 + 测量一致性
代价	阶段代价 + 终端	残差代价 + 到达代价

Rao-Rawlings-Mayne (2003) 证明了 MHE + MPC 的联合闭环稳定性——前提是 MHE 的到达代价满足类似 MPC 终端代价的 Lyapunov 条件。

工程快做法（EKF + 名义 MPC）

大多数实机系统（包括 MIT Cheetah、ANYmal、Spot）使用 EKF + 名义 MPC——没有理论保证但实际工作良好。原因：(a) EKF 的估计误差通常很小（\(< 1\%\)）；(b) MPC 的 inherent robustness（§7 ISS）足以吸收估计误差；(c) MHE 的计算量是 MPC 的 2 倍，在实时系统中很难承受。

§C 可行性恢复 ⭐⭐⭐

当扰动超出 \(\mathbb{W}\) 导致 OCP infeasible 时，MPC 面临最危险的局面——控制器没有输出。以下是四种恢复策略，按优先级排序：

策略 1：软约束松弛（最推荐）

把硬约束 \(g(x,u) \le 0\) 替换为 \(g(x,u) \le \delta\)，\(\delta \ge 0\)，在代价中加 \(w_\delta \|\delta\|_1\)（\(w_\delta \gg 1\)）。这样 OCP 永远可行——\(\delta\) 的值反映了约束违反程度。

工程实现：分层优先级。核心安全约束（如关节限位、倾倒防护）不松弛，性能约束（如速度限制、能耗限制）可松弛。

策略 2：备用控制器切换

如果 OCP 连续 \(k_{\text{fail}}\) 步 infeasible（如 \(k_\text{fail} = 3\)），切换到预设的备用控制器（如 LQR、PD 阻抗控制、或 safe fallback 姿态）。备用控制器不最优但保证安全。

策略 3：Shrinking horizon

如果 \(N\) 步 OCP infeasible，尝试 \(N-1\) 步、\(N-2\) 步、...、直到 \(N=1\)。Shrinking horizon 减少了终端约束的负担，可能在短视域内找到可行解。代价是稳定性保证减弱。

策略 4：\(\ell_1\) 精确罚

用 \(\ell_1\) 范数罚所有约束：\(\min J + \nu \sum_k \|g^+(x_k, u_k)\|_1\)（其中 \(g^+ = \max(0, g)\)）。当 \(\nu\) 足够大时，\(\ell_1\) 罚是精确罚——可行解就是最优解，不可行时给出"最少违反"解。

机器人工程实践：ANYmal 和 Spot 使用策略 1+2 的组合。MIT Cheetah 使用纯策略 2（简单 PD fallback）。Talos 人形使用策略 1（分层软约束）。

§D Turnpike 理论 ⭐⭐⭐⭐

**Turnpike（收费公路）性质**是 economic MPC 的核心理论工具。它说的是：长时域最优轨迹的中段几乎全程紧贴最优稳态——像开高速公路。

精确定义（measure turnpike）：对 \(T\)-步最优轨迹 \((x_0^\star, \ldots, x_T^\star)\)，定义

\[ \sigma_T(\varepsilon) := \#\{k \in \{0,\ldots,T\} : \|x_k^\star - x_s\| > \varepsilon\} \]

若存在 \(C(\varepsilon) > 0\)（不依赖 \(T\)）使 \(\sigma_T(\varepsilon) \le C(\varepsilon)\) 对所有 \(T\) 成立，则称系统具有 measure turnpike 性质。

直觉：\(\sigma_T\) 统计"偏离稳态超过 \(\varepsilon\) 的时间步数"。Turnpike 说这个数有上界且不随 \(T\) 增长——大部分时间都在高速公路上。

指数 turnpike（exponential turnpike）：更强的形式——轨迹以指数速率接近 \(x_s\)，在"高速公路段"以指数速率回到 \(x_s\)：

\[ \|x_k^\star - x_s\| \le C(e^{-\lambda k} + e^{-\lambda(T-k)}) \]

前半部分 \(e^{-\lambda k}\) 是"上高速"，后半部分 \(e^{-\lambda(T-k)}\) 是"下高速"。中间段 \(\|x_k^\star - x_s\| \le 2Ce^{-\lambda T/2}\)（指数小）。

与 Strict Dissipativity 的等价性

Grüne-Müller (2016) 证明了：在 LICQ + SOSC 条件下，strict dissipativity \(\iff\) exponential turnpike。

这个等价性的深层含义：

1. 从 dissipativity 到 turnpike：如果系统存在存储函数 \(\lambda\) 使代价"可旋转为正定"，则最优轨迹必然紧贴稳态——因为偏离稳态会产生净正代价。
2. 从 turnpike 到 dissipativity：如果最优轨迹总是紧贴稳态，可以用最优值函数构造存储函数 \(\lambda\)。

工程应用：冻结中段 + 优化两端

Turnpike 性质启发了一种高效的近似方法：把长时域 OCP 分成三段——初始段（适应初始条件）、中间段（锁定为 \(x_s\)）、终端段（到达终端约束）。只优化初始段和终端段，中间段直接设为稳态。这把计算量从 \(O(T)\) 降为 \(O(T_\text{init} + T_\text{term})\)。

§E 实时 MPC：RTI 与 Suboptimal ⭐⭐⭐

RTI 的核心定理

回顾 §3.12（MPC 数值求解）的 Diehl-Bock-Schlöder 2005 contractivity 定理：

\[ \|w^{k+1} - w^\ast(\hat x_0^{k+1})\| \le \kappa\|w^k - w^\ast(\hat x_0^k)\| + \omega\|\hat x_0^{k+1} - \hat x_0^k\| \]

这个定理的稳定性含义：如果 \(\kappa < 1\)（单步 SQP 收缩）且闭环 ISS 保证 \(\|\hat x_0^{k+1} - \hat x_0^k\|\) 有界，则 RTI 跟踪误差有界且渐近收敛。

从 RTI contractivity 到闭环 ISS 的完整推导

设闭环状态满足 \(x_{k+1} = f(x_k, u_0^k) + w_k\)，其中 \(u_0^k\) 是 RTI 的次优控制。

Step 1. RTI 次优性：\(u_0^k \ne u_0^{\star,k}\)，差异 \(\|u_0^k - u_0^{\star,k}\| \le \|w^k - w^\ast\| =: \delta^k\)。

Step 2. 代价次优性界：\(V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}^k) \le V_N^\ast(x) - \ell(x, u_0^{\star}) + L_\text{cost}\delta^k\)。

Step 3. 联合 ISS：\(V_N^\ast(x^+) - V_N^\ast(x) \le -\alpha_\ell(\|x\|) + \sigma_w(\|w\|) + L_\text{cost}\delta^k\)。

由 contractivity，\(\delta^k \le \kappa^k \delta^0 + \frac{\omega}{1-\kappa}\sup\|\Delta x_0\|\)，所以 \(\delta^k\) 有界→联合闭环 ISS。

Suboptimal MPC 的实用价值

Scokaert-Mayne-Rawlings (1999) 的核心定理：如果每步 MPC 返回的解 \(\tilde{\mathbf{u}}\) 满足 (a) 可行性和 (b) 代价不劣化（\(V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}^+) \le V_N(x, \tilde{\mathbf{u}}) - \ell(x, \tilde u_0)\)），则闭环渐近稳定——不需要全局最优。

这个定理的革命性在于：它解放了 MPC 对"精确求解"的依赖。实际工程中只需保证： 1. 可行性（shift warm-start 自动满足） 2. 代价单调不增（一次 SQP 迭代 + Armijo 检查通常满足）

因此 RTI（单次迭代）在 suboptimal MPC 框架下是有理论保证的——只要 shift warm-start 构造的候选序列满足 Lyapunov 下降。

§F 采样数据 MPC ⭐⭐⭐⭐

问题：MPC 理论假设离散时间系统 \(x_{k+1} = f(x_k, u_k)\)，但实际系统是连续时间 \(\dot x = f_c(x, u)\)。离散化引入误差——MPC 的稳定性保证是否在连续世界中仍然成立？

Nešić-Teel (2004) 的框架：semi-global practical asymptotic stability（SP-AS）。核心结论：如果离散 MPC 在 \(X_N\) 上渐近稳定，且积分器是一致的（即离散化误差 \(\to 0\) as \(\Delta t \to 0\)），则连续闭环在 \(X_N\) 的紧子集上 SP-AS——状态收敛到原点的 \(O(\Delta t)\) 邻域（而非精确原点）。

精确陈述：对任意 \(\varepsilon > 0\)（终态邻域）和 \(\Delta > 0\)（初态范围），存在 \(\Delta t^\star > 0\) 使对所有 \(\Delta t < \Delta t^\star\) 和 \(\|x_0\| \le \Delta\)：

\[ \|x(t)\| \le \beta(\|x_0\|, t) + \varepsilon, \quad \forall t \ge 0 \]

工程含义：\(\Delta t\) 越小，"实际稳定"越接近"理论稳定"。但 \(\Delta t\) 太小 → \(N = T/\Delta t\) 暴增 → 计算量线性增长。经验法则：\(\Delta t \le \tau_\text{sys}/5\)（系统最快时间常数的 1/5）。

§G 计算验证：LMI、SOS、MPT3 ⭐⭐⭐

终端设计的理论很优雅，但如何确保数值正确性？以下三个工具是验证的标准方法。

LMI 终端集设计的完整流程

对线性系统 \(x^+ = Ax + Bu\)，终端集设计可以写成 SDP：

\[ \begin{aligned} \max_{W \succ 0, Y, \alpha} &\quad \alpha \\ \text{s.t.} &\quad \begin{bmatrix} W & (AW + BY)^\top \\ AW + BY & W \end{bmatrix} \succeq 0 \quad \text{(Schur Lyapunov)} \\ &\quad \begin{bmatrix} \alpha b_\ell^2 & c_\ell^\top \\ c_\ell & W^{-1} \end{bmatrix} \succeq 0, \quad \forall \ell \quad \text{(椭球切约束)} \\ &\quad W \succeq 0 \end{aligned} \]

变量替换 \(W = P^{-1}\)，\(Y = KW\)，使问题线性化为 SDP。

YALMIP + MOSEK 实现：

W = sdpvar(n, n, 'symmetric');
Y = sdpvar(m, n, 'full');
alpha = sdpvar(1);

% Lyapunov 约束
F = [W >= 1e-6*eye(n)];
F = [F, [W, (A*W+B*Y)'; A*W+B*Y, W] >= 0];

% 约束切约束
for l = 1:num_constraints
    F = [F, [alpha*b(l)^2, c(:,l)'; c(:,l), inv(W)] >= 0];
end

optimize(F, -alpha, sdpsettings('solver','mosek'));
P = inv(value(W));
K = value(Y) * P;
alpha_star = value(alpha);

SOS 验证 Lyapunov 函数

对多项式系统 \(f(x, Kx) = A_K x + r(x)\)（\(r\) 多项式高阶项），验证 (A2) 等价于检验：

\[ -(V_f(f(x, Kx)) - V_f(x) + \ell(x, Kx)) \quad \text{是 SOS（非负多项式）} \]

SOS 可行性问题可由 SOSTOOLS（MATLAB）或 SumOfSquares.jl（Julia）自动求解。

using SumOfSquares, MosekTools
model = SOSModel(Mosek.Optimizer)
@variable(model, V, SOSPoly(monomials(x, 0:4)))  # 四次 Lyapunov 候选
@constraint(model, -(V(f(x,K*x)) - V(x) + ell(x,K*x)) in SOSCone())
optimize!(model)

MPT3 工具箱

MPT3（Multi-Parametric Toolbox 3，MATLAB）是多面体运算和 MPC 设计的事实标准。核心功能：

功能	命令	用途
多面体定义	Polyhedron(A, b)	约束集
Minkowski 和	P1 + P2	RPI 累加
Pontryagin 差	P1 - P2	约束收紧
最大正不变集	system.invariantSet()	\(\mathcal{O}_\infty\)
显式 MPC	mpc.toExplicit()	PWA 控制律
可达集	system.reachableSet()	可行域 \(X_N\)

Python 替代：polytope 库（pip install polytope）支持基本 polytope 运算，但功能不如 MPT3 完整。对高维问题（\(n > 5\)），polytope 运算的面数可能指数增长——需要用 zonotope 或 ellipsoidal 近似。

---

本章小结

主题	核心结论	设计工具	适用场景
四条件 (§2)	(A1)+(A2)+(A3) ⇒ 渐近稳定	DARE/LQR	所有 MPC
终端设计 (§3)	\(V_f = x^\top P_{\text{DARE}} x\) 自动满足 A2	solve_discrete_are	可线性化系统
无终端 (§4)	\(\alpha_N > 0\) ⇒ 稳定	Grüne 公式	\(N\) 可取大时
Economic (§5)	Strict dissipativity ⇒ rotated cost 正定	SOS/LMI	非跟踪目标
Tube (§6)	RPI + 收紧 ⇒ 鲁棒递归可行	MPT3	有界扰动
ISS (§7)	\(V_N^\ast\) 是 ISS-Lyapunov	Lipschitz 分析	小扰动鲁棒
CLF/CBF (§8)	\(V_N^\ast\) 即 CLF，CBF 作安全约束	CasADi	避障

---

累积项目：本章新增模块

项目：从零构建 MPC 稳定性验证工具链

• 前置章节已完成：Lyapunov 函数数值验证、KKT 条件求解器
• 本章新增：
• DARE 求解 + LQR 终端设计模块（输入 \(A, B, Q, R\)，输出 \(P, K, \alpha^\ast\)）
• Grüne \(\alpha_N\) 计算器（输入 \(C, \sigma\)，输出 \(N^\ast\)）
• mRPI 计算模块（输入 \(A_K, \mathbb{W}\)，输出 \(\mathbb{Z}_\alpha^s\)）
• Tube MPC 约束收紧器（输入 \(\mathbb{X}, \mathbb{U}, \mathbb{Z}\)，输出收紧约束）

---

延伸阅读

资源	难度	内容
Rawlings-Mayne-Diehl MPC 2e Ch.2	⭐⭐	四条件理论的权威来源
Grüne-Pannek NMPC 2e Ch.5-7	⭐⭐⭐	无终端约束理论最深入
Kouvaritakis-Cannon 2016 Ch.3-4	⭐⭐⭐	Tube MPC 最权威
Mayne 2014 Survey, Automatica	⭐⭐	MPC 稳定性 50 年回顾
Angeli-Amrit-Rawlings 2012	⭐⭐⭐⭐	Economic MPC 奠基
Zeng-Sreenath 2021 GitHub	⭐⭐	MPC-CBF 可运行代码

---

🔧 故障排查手册

症状	可能原因	排查步骤	相关节
闭环状态缓慢漂移不收敛	阶段代价不含 \(x\)（A3 失效）	1. 检查 \(Q\) 是否正定 2. 画 \(V_N^\ast(x_k)\) 曲线	§2
第二拍 OCP infeasible	终端集不正不变或扰动超界	1. 检查 \(\kappa_f(x) \in \mathbb{U}\) 2. 画终端集与约束的关系	§3, §6
控制输出振荡不衰减	\(V_f\) 不满足 DARE	1. 验证 \(A_K^\top PA_K - P + Q + K^\top RK = 0\) 2. 重新解 DARE	§3
\(N\) 增大后反而不稳定（有扰动）	ISS 增益 \(L_f^{N-1}\) 爆炸	1. 估算 \(L_f\) 2. 加 tube 或减 \(N\)	§7
Economic MPC 陷入极限环	Strict dissipativity 不满足	1. SOS 验证 \(\lambda\) 存在性 2. 检查代价是否真正"经济型"	§5

---

本章常见误解汇总

误解	正确理解
MPC 有限视域优化天然保证闭环稳定	没有终端代价/终端约束的 MPC 可能闭环不稳定——有限视域导致的"近视效应"使控制器看不到远期代价，可能把状态推向不可恢复区域
Mayne 四条件是 MPC 稳定的唯一途径	Grune-Pannek 2011 证明了无终端约束/代价的 MPC 在视域 \(N\) 足够大时也能稳定（通过 controllability 假设），但所需 \(N\) 可能很大
终端等式约束 \(x_N = 0\) 是最简单的稳定性保证方式	\(x_N = 0\) 是充分条件但极度保守——要求 \(N\) 步内精确到达原点，可行域非常小；终端不等式约束 \(x_N \in \mathcal{X}_f\)（正不变椭球）在保证稳定性的同时给出大得多的可行域
Economic MPC 的稳定性分析与跟踪 MPC 相同	Economic MPC 的代价不以状态偏差为度量（\(\ell(x,u)\) 非正定），不能直接用 \(V_N^\ast\) 作 Lyapunov 函数；需要 strict dissipativity 条件将经济代价转化为等价的正定形式
ISS-MPC 意味着扰动不影响系统行为	ISS 保证的是扰动有界时状态有界（\(\|x\| \le \beta(\|x_0\|, t) + \gamma(\|w\|_\infty)\)），并非扰动无影响；增益函数 \(\gamma\) 越小鲁棒性越好
RTI（Real-Time Iteration）只做一步 SQP 一定导致性能损失	Diehl 2005 证明了 RTI 的次优性可视为一种有界扰动，在 ISS-MPC 框架下闭环仍稳定；一步 SQP 的 warm-start 质量（由上一时刻解平移得到）往往使这个"扰动"非常小
增大预测视域 \(N\) 总能提高鲁棒性	对于有模型误差的系统，\(N\) 过大反而使预测末端偏差 \(L_f^{N-1}\|w\|\) 指数增长（Lipschitz 常数的幂次），可能导致 ISS 增益恶化

---

跨章综合练习

综合题（需要 §2 + §3 + §6 的知识）：

对双积分器 \(x^+ = \begin{bmatrix}1 & 0.1\\0 & 1\end{bmatrix} x + \begin{bmatrix}0.005\\0.1\end{bmatrix} u + w\)，\(|u| \le 1\)，\(\|x\|_\infty \le 5\)，\(\|w\|_\infty \le 0.05\)：

1. 设计 LQR 终端：解 DARE，求 \(P, K, \alpha^\ast\)（§3）；
2. 验证四条件（§2）：检查 (A1)-(A3) 是否满足；
3. 设计 Tube MPC（§6）：计算 mRPI \(\mathbb{Z}\)，执行约束收紧；
4. 仿真对比：标称 MPC vs Tube MPC 在有扰动下的约束满足情况。

完整实现约 200 行 Python 代码，使用 CasADi + MPT3（或 polytope 库）。

---

附录 A：Lyapunov 下降证明的几何解读

为什么候选序列构造是核心手法

§2 的证明中 Step 1 构造的候选序列 \(\tilde{\mathbf{u}} = (u_1^\ast, \dots, u_{N-1}^\ast, \kappa_f(x_N^\ast))\) 看似简单，但它蕴含了深刻的几何洞察。

时间轴视角：

时刻 k:   [u_0*]  [u_1*]  [u_2*]  ... [u_{N-1}*]  → x_N* ∈ X_f
                                                          ↓ κ_f
时刻 k+1:         [u_1*]  [u_2*]  ... [u_{N-1}*] [κ_f(x_N*)] → x_{N+1} ∈ X_f

• 上一时刻的最优序列**向左平移一格**——这就是 "shift" 操作的本质；
• 末端用 \(\kappa_f\) 补齐——终端反馈是最后的安全网。

代价变化的几何意义：

从 \(V_N^\ast(x)\) 到 \(V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}})\)，代价发生了以下变化：

1. **减少**了第一段 \(\ell(x, u_0^\ast)\)（因为 shift 丢弃了它）；
2. **增加**了最后一段 \(\ell(x_N^\ast, \kappa_f) + V_f(f(x_N^\ast, \kappa_f)) - V_f(x_N^\ast)\)；
3. 由 (A2)，增加的部分 \(\le 0\)。

净效果：\(V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}}) \le V_N^\ast(x) - \ell(x, u_0^\ast) \le V_N^\ast(x) - \alpha_\ell(\|x\|)\)。

最优性原则的角色

Step 5 中用到了最优性：\(V_N^\ast(x^+) \le V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}})\)。这看似多余——为什么不直接用候选代价？

原因：\(V_N(x^+, \tilde{\mathbf{u}})\) 不是 \(x^+\) 的函数——它依赖于从 \(x\) 出发的最优轨迹。我们需要一个只依赖于当前状态的 Lyapunov 函数——\(V_N^\ast(x)\) 满足此要求。最优性原则起到了从候选上界到状态函数的桥梁作用。

---

附录 B：终端集几何与计算细节

椭球与多面体的关系

终端集 \(X_f = \{x : x^\top P x \le \alpha\}\) 是椭球。形状由 \(P\) 的特征分解决定：\(P = U\Lambda U^\top\)，特征向量 \(U\) 定义轴方向，特征值的倒数平方根 \(1/\sqrt{\lambda_i}\) 定义轴长（半轴长度为 \(\sqrt{\alpha/\lambda_i}\)）。

椭球的几何直觉

考虑二维情形 \(P = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，\(\alpha = 1\)。椭球方程 \(4x_1^2 + x_2^2 \le 1\) 是一个沿 \(x_1\) 压缩、沿 \(x_2\) 拉长的椭圆——半轴长分别为 \(1/\sqrt{4} = 0.5\) 和 \(1/\sqrt{1} = 1\)。

物理含义：\(P\) 的大特征值方向（\(\lambda_1 = 4\)）对应"状态偏离代价高"的方向——椭球在该方向更窄，表示"允许更小的偏差"。对倒立摆，角度方向的特征值通常远大于角速度方向——说明角度偏差比角速度偏差更危险（角度偏大直接跌倒，角速度偏大还可以通过控制纠正）。

多面体终端集（Gilbert-Tan 1991）——对线性系统，最大正不变终端集：

\[ \mathcal{O}_\infty = \{x : A_K^k x \in \mathbb{X},\ K A_K^k x \in \mathbb{U},\ \forall k \ge 0\}. \]

迭代算法：\(\mathcal{O}_0 = \mathbb{X} \cap K^{-1}\mathbb{U}\)，\(\mathcal{O}_{j+1} = \mathcal{O}_j \cap A_K^{-1}\mathcal{O}_j\)。有限步收敛（由 \(A_K\) Schur 保证，有限步后 \(A_K^k x\) 任意小，约束自动满足）。

收敛步数估计：\(j^\star \le \lceil \log(\varepsilon / \|x\|_\infty) / \log(\rho(A_K)) \rceil\)。对 \(\rho(A_K) = 0.9\)、\(\varepsilon / \|x\| = 0.01\)，\(j^\star \le \lceil 4.6 / 0.105 \rceil = 44\) 步。

维度	椭球	多面体
体积	较小（内切于多面体）	最大（精确可达集）
存储	\(O(n^2)\)	\(O(n \cdot n_f)\)（面数 \(n_f\) 可能指数增长）
在线检测	\(x^\top P x \le \alpha\)（一次矩阵乘法）	\(Ax \le b\)（\(n_f\) 次标量比较）
高维	好（\(n^2\) 存储与 \(n\) 无关）	差（\(n_f\) 可能 \(2^n\) 量级）
建议	\(n \ge 5\)	\(n \le 4\)

选择建议：对四足/人形机器人（\(n \ge 12\)），椭球几乎是唯一可行的终端集表示。多面体只适合低维系统（如 2D 自行车模型、3D 四旋翼简化模型）。

LMI 联合优化

通过 Schur 补把 \(\alpha b_\ell^2 \ge c_\ell^\top P^{-1} c_\ell\) 转化为 LMI：

\[ \begin{bmatrix} \alpha b_\ell^2 & c_\ell^\top \\ c_\ell & P \end{bmatrix} \succeq 0. \]

令 \(W = P^{-1}\)，\(Y = KW\) 可将整个终端设计写成 SDP。YALMIP + MOSEK 求解。

---

附录 C：Economic MPC 的 Telescope 性质

旋转后值函数 \(\tilde{V}_N^\ast(x) = V_N^\ast(x) - N\ell_e(x_s, u_s) + \lambda(x) - \lambda(x_s)\) 与原值函数有相同最优解。

证明利用 \(\lambda\) 项的 telescope 消去：\(\sum_{k=0}^{N-1}[\lambda(x_k) - \lambda(x_{k+1})] = \lambda(x_0) - \lambda(x_N)\)。旋转不改变最优控制序列，仅修改值函数的"坐标系"。

Dissipativity 的 SOS 验证

对多项式系统，strict dissipativity 验证转化为 SOS 可行性问题。参数化 \(\lambda\) 为多项式（通常二次），用 SOSTOOLS/SumOfSquares.jl 求解。

---

附录 D：Tube MPC 的非线性推广

线性 Tube MPC 的误差动力 \(e^+ = A_K e + w\) 是线性的。非线性推广面临核心挑战：RPI 集在非线性系统上没有闭式解——Minkowski 和的递推不再适用。

三种非线性推广方案

方案 1：沿参考轨迹线性化（LTV Tube）

Kohler-Muller-Allgower (2019) 的核心思想：

1. 先解名义 NLP 得到参考轨迹 \((\bar x, \bar u)\)；
2. 沿 \((\bar x, \bar u)\) 线性化得到 LTV 系统 \(e_{k+1} = A_k e_k + B_k\delta u_k + w_k\)；
3. 为 LTV 系统计算 time-varying RPI tube \(\mathbb{Z}_k\)；
4. 用 time-varying 约束收紧。

优点：理论保证完整（RPI 在 LTV 意义下）。缺点：tube 大小依赖参考轨迹——如果参考轨迹变化大（如步态切换），tube 可能突变。

方案 2：Contraction-based Tube

利用 contraction theory（Lohmiller-Slotine 1998）：如果非线性系统的 Jacobian \(\partial f/\partial x\) 一致负定（contraction metric），则任意两条轨迹指数收敛。误差 tube 可以用 contraction rate 界定。

方案 3：Adaptive Tube（在线调整）

Lorenzen-Allgower-Dabbene (2019)：在线估计 \(\mathbb{W}\) 并动态调整 tube 大小。当扰动估计变小时 tube 收缩→约束放松→性能提升。当扰动增大时 tube 膨胀→约束收紧→安全保证加强。

三种方案的对比

方案	适用系统	计算量	保守性	工程成熟度
LTV Tube	弱非线性	中（需在线线性化）	中	较高
Contraction Tube	有 contraction metric 的系统	低（离线计算 metric）	低	研究阶段
Adaptive Tube	扰动缓变	高（在线估计 + tube 更新）	自适应	研究阶段

机器人的实际做法

大多数腿足/操作臂 MPC 实际上不使用 tube——因为：(a) 模型精度高（Pinocchio 的解析模型误差 < 1%）；(b) 状态估计精度高（IMU + 编码器融合）；(c) MPC 的 inherent robustness（§7）足以应对正常运行条件。

Tube MPC 在机器人中的价值主要在两个场景： 1. 安全关键应用（如手术机器人、航天器对接）——需要 100% 约束满足保证 2. 恶劣环境（如冰面行走、大风飞行）——扰动大且可估计

对"一般性"机器人（如仓库 AGV、家用服务机器人），标称 MPC + EKF 的简单组合就够了。

---

附录 E：MPC 稳定性证明的完整逻辑链

把本章的所有稳定性结论串联起来，形成一个从最弱假设到最强结论的完整逻辑链。

从弱到强：六层保证

Level 0: OCP 有解（可行性）
  ↓ + (A1) 终端集正不变
Level 1: 递归可行性（每步 OCP 有解）
  ↓ + (A2) 终端代价 CLF + (A3) 阶段代价正定
Level 2: 渐近稳定性（x → 0）
  ↓ + 二次代价 + 线性系统
Level 3: 指数稳定性（||x_k|| ≤ Ce^{-λk}||x_0||）
  ↓ + 扰动有界
Level 4: ISS 稳定性（x → B_δ(0)，δ 与扰动成正比）
  ↓ + Tube 设计
Level 5: 鲁棒约束满足（x_k ∈ X, u_k ∈ U ∀k，对任意 w ∈ W）
  ↓ + Economic 代价 + Dissipativity
Level 6: 渐近最优稳态跟踪（average cost → ℓ_e(x_s, u_s)）

每一层严格依赖前一层。如果 Level 0 不成立（OCP 无解），后面全白搭。如果 Level 2 成立但不检查 Level 4，扰动可能把系统推出稳定域——"仿真完美、实机失败"。

实机部署的最小保证级别

应用	需要的最低 Level	理由
学术 benchmark	Level 2	仿真无扰动
四足行走（平地）	Level 2 + ISS 分析	传感器噪声自然被 inherent robustness 吸收
四足行走（野外）	Level 5	地形不确定性需要约束保证
手术机器人	Level 5	安全关键
航天器对接	Level 5 + Stochastic	无第二次机会
经济调度	Level 6	代价非正定

从理论到代码的 Checklist

在部署任何 MPC 之前，按以下 checklist 逐项检查：

• 离散化 \((A_d, B_d)\) 可镇定？（\(\text{rank}([B, AB, \ldots, A^{n-1}B]) = n\)）
• DARE 有解？（solve_discrete_are 不报错）
• \(A_K = A + BK\) 的特征值全在单位圆内？（\(\rho(A_K) < 1\)）
• 椭球 \(\alpha^\ast > 0\)？（约束不冲突）
• 非线性系统的 \(\alpha_\text{nl}\) 足够大？（Chen-Allgöwer 条件）
• MPC 闭环仿真中 \(V_N^\ast(x_k)\) 单调下降？（Lyapunov 验证）
• 加入传感器噪声后 \(V_N^\ast\) 仍单调下降？（ISS 验证）
• 扰动估计 \(\mathbb{W}\) 是否覆盖了真实扰动？（Tube 验证）

如果所有勾选通过，你的 MPC 就有了从理论到实践的完整保证链。

---

附录 F：MPC 稳定性理论的历史脉络

年代	里程碑	贡献者
1978	IDCOM（工业 MPC）	Richalet
1988	终端等式约束稳定性	Keerthi-Gilbert
1993	双模式 MPC	Michalska-Mayne
1998	Quasi-infinite horizon	Chen-Allgower
2000	四条件统一框架	Mayne et al.
2004	Tube-based robust MPC	Langson et al.
2005	RTI + mRPI 算法	Diehl; Rakovic
2009	无终端约束理论	Grune
2012	Economic MPC dissipativity	Angeli et al.
2014	MPC 综述（40 年）	Mayne
2021	MPC-CBF 统一	Zeng-Sreenath
2024	数据驱动 MPC 保证	Berberich-Allgower
2025	ProxDDP 硬约束 MPC	Jallet et al.

---

附录 G：定理清单（12 条）

#	定理	核心结论	出处
1	DP 递归	\(V_N^\ast = \min[\ell + V_{N-1}^\ast]\)	Bellman 1957
2	Mayne 2000	(A1)+(A2)+(A3) => 渐近稳定	Automatica 2000
3	Lyapunov 下降	\(V_N^\ast(x^+) \le V_N^\ast(x) - \ell\)	同上
4	DARE 配对	\(V_f = x^\top P x\) 满足 (A2)	RMD17
5	Grune alpha_N	cost controllability => 稳定	SICON 2009
6	Jadbabaie-Hauser	CLF 终端代价	TAC 2005
7	Angeli EMPC	dissipativity => 稳定	TAC 2012
8	Mayne Tube	RPI + 收紧 => 鲁棒可行	Automatica 2005
9	Limon ISS	\(V_N^\ast\) 是 ISS-Lyapunov	LNCIS 2009
10	MPC-CBF	DT-CBF => 安全	arXiv 2021
11	Scokaert	feasibility => stability	TAC 1999
12	Diehl RTI	kappa < 1 => 局部收敛	SIAM 2005

---

附录 H：关键论文 DOI 速查

主题	论文	DOI
四条件	Mayne et al. 2000	10.1016/S0005-1098(99)00214-9
Survey	Mayne 2014	10.1016/j.automatica.2014.10.128
QIH	Chen-Allgower 1998	10.1016/S0005-1098(98)00073-9
CLF terminal	Jadbabaie-Hauser 2005	10.1109/TAC.2005.847055
Cost ctrl	Grune 2009	10.1137/070707853
Constrained	Limon et al. 2006	10.1109/TAC.2006.875014
Economic	Angeli et al. 2012	10.1109/TAC.2011.2176174
Rotated	Diehl et al. 2011	10.1109/TAC.2010.2101291
Tube	Mayne et al. 2005	10.1016/j.automatica.2004.08.019
mRPI	Rakovic et al. 2005	10.1109/TAC.2005.843854
ISS-MPC	Magni et al. 2006	10.1109/TAC.2006.880808
MPC-CBF	Zeng et al. 2021	arXiv:2007.11718
SMPC	Mesbah 2016	10.1109/MCS.2016.2602087
MHE	Rao et al. 2003	10.1109/TAC.2002.808470
RTI	Diehl et al. 2005	10.1137/S0363012902400713
Suboptimal	Scokaert et al. 1999	10.1109/9.751369

---

附录 I：教材对照表

教材	四条件	无终端	Economic	Tube	Stochastic
Rawlings-Mayne-Diehl 2017	Ch.2	Ch.2.6	Ch.2.8	Ch.3	Ch.3.7
Grune-Pannek 2017	Ch.5	Ch.6-7	Ch.8	Ch.7 简	Ch.9 简
Borrelli-Bemporad-Morari 2017	Ch.10-11	--	--	Ch.15	--
Kouvaritakis-Cannon 2016	Ch.2	Ch.2.4	--	Ch.3-4	Ch.6

---

附录 J：时间预算

周	任务	产出
1	§1-§3 四条件 + DARE	手推证明，Python 算 \(P, K, \alpha\)
2	§4 Grune + 逆摆仿真	CasADi 跑无终端 MPC
3	§5-§6 Economic + Tube	MPT3 算 mRPI
4	§7-§8 ISS + MPC-CBF	复现 Zeng-Sreenath
5	选学（推荐 §A + §E）	acados 跑 RTI

学习建议：

• 第 1 周最重要——四条件证明是后续所有内容的基础。建议在白板上完整手推一遍 Step 1-6（§2），然后用 Python 验证双积分器的 \(P, K, \alpha^\ast\)。如果这一周没有彻底理解，后续内容会越来越困难。

• **第 2 周的关键**是理解 Grune-Pannek 公式的直觉——"\(N\) 足够大时，有限视域的'近视效应'被阶段代价的累积所稀释"。用 CasADi 仿真直观验证：\(N\) 太小时轨迹振荡不收敛，\(N\) 达到 \(N^\ast\) 后突然稳定。

• **第 3-4 周**可以并行学习。Tube MPC 和 ISS-MPC 虽然主题不同，但数学工具（Lyapunov、正不变集、Lipschitz 界）高度重叠。

• **第 5 周**的 RTI 理论是连接本章（稳定性理论）与 §3.12（数值求解）的桥梁——它回答了"如果 MPC 没解到最优（只跑了一次 SQP 迭代），闭环还稳定吗？"这个实机部署中最核心的问题。

最后提醒：MPC 稳定性理论的**不可替代价值**不在于它"让你的代码更快"——而在于它"让你知道什么时候系统会崩"。一个没有稳定性分析的 MPC 部署就像一辆没有安全带的汽车——大多数时候没问题，但关键时刻会致命。 | 6 | 综合项目 | 完整 MPC 闭环 |